[논문 리뷰] Output Feedback Control of the One-Phase Stefan Problem

Shumon Koga, Mamadou Diagne외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 27.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 한상분리 문제의 일상분리 문제에 대해 배경 기반 관측기와 출력 피드백 제어기를 제안하며, 고체 상 길이의 경계 측정값만을 사용하여 이동 경계와 온도 분포의 지수적 안정성을 달성한다. 이 방법은 이득과 설정값 제약 조건을 통해 물리적 제약 조건을 만족시키며, 이 계열의 상전이 시스템에 대해 추정 오차 수렴과 출력 피드백 제어의 첫 이론적 결과를 제시한다.

ABSTRACT

In this paper, a backstepping observer and an output feedback control law are designed for the stabilization of the one-phase Stefan problem. The present result is an improvement of the recent full state feedback backstepping controller proposed in our previous contribution. The one-phase Stefan problem describes the time-evolution of a temperature profile in a liquid-solid material and its liquid-solid moving interface. This phase transition problem is mathematically formulated as a 1-D diffusion Partial Differential Equation (PDE) of the melting zone defined on a time-varying spatial domain described by an Ordinary Differential Equation (ODE). We propose a backstepping observer allowing to estimate the temperature profile along the melting zone based on the available measurement, namely, the solid phase length. The designed observer and the output feedback controller ensure the exponential stability of the estimation errors, the moving interface, and the ${\cal H}_1$-norm of the distributed temperature while keeping physical constraints, which is shown with the restriction on the gain parameter of the observer and the setpoint.

연구 동기 및 목표

• 상전이 역학에서 중요한 모델인 한상분리 문제에 대해 추정 및 출력 피드백 제어 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 측정된 이동 경계 길이만을 이용해 전체 온도 분포를 추정하는 백스테핑 관측기를 설계하기 위해.
• 전체 상태 측정이 필요 없이 경계면 위치 피드백만을 사용하여 시스템을 안정화하는 출력 피드백 제어 법칙을 개발하기 위해.
• 관측기 이득과 설정값에 대한 분석적 제약 조건을 통해 제어 입력의 양성 및 단조성 증가와 같은 물리적 제약 조건을 유지하기 위해.
• 기존의 전역 상태 피드백 백스테핑 결과를 실시간 제어 응용에 적합한 실질적인 출력 피드백 프레임워크로 확장하기 위해.

제안 방법

• 시간에 따라 변하는 영역을 갖는 원래의 PDE-ODE 연립 시스템을, 원하는 안정성 특성을 갖는 목표 시스템으로 매핑하기 위해 백스테핑 변환을 구성한다.
• 측정된 고체 상 길이를 바탕으로 온도 분포를 추정하기 위해 볼테라 적분 변환을 사용하여 관측기를 설계하며, 추정 오차의 지수적 수렴을 보장한다.
• 관측기와 상태 피드백 법칙을 조합하여 출력 피드백 제어기를 합성하며, 경계면 길이만을 측정 입력으로 사용한다.
• 추정 오차 및 제어 오차 시스템의 리아프노프 함수를 구성하여 H¹-노름에서의 지수적 안정성을 증명한다.
• 비선형 커널 설계를 통해 상태 의존적 이동 경계를 고려하여 시간에 따라 변하는 영역 역학을 변환에 통합한다.
• 관측기 이득 파라미터와 설정값을 제한하여 제어 입력의 양성 및 경계면 진동의 단조성 증가를 보장함으로써 물리적 제약 조건을 강제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측정된 이동 경계 길이만을 사용하여 한상분리 문제에 대해 전체 상태 관측기를 설계할 수 있는가?
• RQ2 전체 상태 접근이 불가능한 상황에서 경계면 위치와 온도 분포를 안정화할 수 있는 출력 피드백 제어기를 합성할 수 있는가?
• RQ3 관측기 이득과 설정값에 어떤 조건이 요구되어 제어 입력의 양성 및 경계면의 단조적 성장과 같은 물리적 제약 조건을 보장할 수 있는가?
• RQ4 출력 피드백 하에서 추정 오차, 온도 분포 및 이동 경계의 H¹-노름에서 지수적 안정성이 달성 가능한가?
• RQ5 백스테핑 방법을 시간에 따라 변하는 공간 영역을 갖는 PDE-ODE 시스템에 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 관측기는 H¹-노름에서 온도 분포 추정 오차가 지수적으로 0으로 수렴함을 보장한다.
• 출력 피드백 제어기는 이동 경계와 온도 분포를 목표 설정값으로 지수적으로 안정화한다.
• 임시 상태 동안 제어 입력이 항상 양수를 유지하여 물리적 실현 가능성 제약 조건을 충족한다.
• 경계면 온도의 추정 오차는 음수이면서 점차 0으로 수렴하여 물리적 일관성을 보장한다.
• 관측기 이득과 설정값이 식 (22)–(24)에 명시된 조건을 만족할 경우, 시스템은 안정성을 유지한다.
• zinc 물성으로 수행된 수치 시뮬레이션은 이론적 예측을 확인한다: 경계면은 오버슈트 없이 설정값으로 수렴하며, 모든 물리적 제약 조건이 유지된다.