[논문 리뷰] Output tracking based on extended observer for nonlinear uncertain systems

Wang, Xinhua, Chen, Zengqiang외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 10.

Adaptive Control of Nonlinear Systems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 불확실 시스템에서 시스템 불확실성과 순서 $ n $까지의 신호 도함수를 추정하기 위해 고이득 확장 관측기를 제안한다. 이는 외부 교란이 존재하더라도 출력 추적 오차와 그 도함수가 빠르게 0으로 수렴하도록 한다. 이 관측기를 기반으로 한 제어기는 점근적 안정성과 급속한 오차 감소를 보장하며, 비선형 시스템의 이론적 분석과 시뮬레이션을 통해 검증된다. 참조 신호 추적에 대해 사인파 입력을 사용한다.

ABSTRACT

A high-gain extended observer is designed for a class of nonlinear uncertain systems. This observer has the ability of estimating system uncertainty, and it can be used to estimate the derivatives of signal up to order n. The controller based on this extended observer can make the tracking error and its derivatives converge to zero rapidly even when uncertainties and disturbances exist. The result of simulation indicates that this method has satisfactory control performance for nonlinear uncertain systems.

연구 동기 및 목표

• 모르는 교란과 불확실한 동역학을 가진 비선형 시스템에서 출력 추적 문제를 해결하기 위해.
• 시스템 불확실성과 참조 신호의 도함수를 순서 $ n $까지 추정할 수 있는 관측기를 설계하기 위해.
• 불확실성과 교란이 존재하는 상황에서도 추적 오차와 그 도함수가 신속하게 0으로 수렴하도록 보장하기 위해.
• 확장 관측기와 전체 제어 시스템의 안정성을 증명하기 위해.
• 이론적 분석과 시뮬레이션을 통해 제안된 방법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 고이득 확장 관측기는 서로 다른 양의 실수 $ \lambda_i $의 집합을 사용하여 특성 다항식을 구성하고, 계수 $ h_i $를 정의한다.
• 관측기의 구조는 행렬 $ A $, 입력 행렬 $ B $, 그리고 작은 변동 매개변수 $ \varepsilon \in (0,1) $를 포함한 상태공간 모델로 정의된다.
• 관측기는 추적 오차 벡터 $ \widehat{e} $, 특히 불확실성 항 $ x_{n+1} = f(\cdot) $를 추정하며, $ \varepsilon^{-i} (\widehat{e}_1 - e_1) $ 비례의 피드백 항을 사용한다.
• 슬라이딩 모드 제어기는 슬라이딩 변수 $ \sigma(t) = \widehat{e}_2 + \widehat{e}_1 $를 사용하며, 유한 시간 내 슬라이딩 표면으로 수렴하는 도달 법칙을 적용한다.
• 리아푸노프 기반 안정성 분석을 통해 추정 오차 $ \delta(t) = \widehat{e} - e $ 가 $ \varepsilon $ 비례한 bound로 수렴하고, 추적 오차 $ e(t) $ 가 $ \mathcal{O}(\sqrt{\varepsilon}) $ 로 수렴함을 증명한다.
• 관측기의 고유값이 $ -\lambda_i / \varepsilon^i $ 에 위치하도록 구성되어 있어, $ \varepsilon \to 0^+ $ 일 때 빠른 수렴을 보장한다.

Figure 1: System output tracking errors.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 불확실 시스템에서 고이득 확장 관측기가 시스템 불확실성과 참조 신호의 도함수를 순서 $ n $까지 동시에 추정할 수 있는가?
• RQ2 불확실성 하에서 관측기의 수렴 속도와 유한한 추정 오차를 보장하기 위해 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 모르는 교란이 존재하는 상황에서도 출력 추적 오차와 그 도함수가 0으로 수렴하도록 보장하는 제어 법칙은 무엇인가?
• RQ4 확장 관측기와 전체 닫힌 루프 시스템의 안정성은 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ5 관측기 이득 매개변수 $ \varepsilon $ 와 추적 오차의 최종 bound 사이의 정량적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 확장 관측기는 $ \varepsilon \to 0^+ $ 일 때 추정 오차 $ \|\delta(t)\| \to 0 $ 으로 급속 수렴하여 불확실성과 도함수 추정의 정확성을 보장한다.
• 임의의 고정된 $ \varepsilon \in (0,1) $ 에 대해 추정 오차는 $ \|\delta(t)\| \leq \frac{\varepsilon M}{\lambda} \|T\| \|T^{-1}\| $ 로 유계이며, 여기서 $ M $ 은 불확실성의 도함수를 유계로 제한하고 $ \lambda $ 는 관측기의 최소 고유값이다.
• 추적 오차 $ \|e(t)\| $ 는 $ \sqrt{\varepsilon} $ 비례한 bound로 수렴하며, 즉 $ \|e(t)\| \leq k_p \sqrt{\varepsilon} $ 이고, $ k_p $ 는 양의 상수이다.
• 시뮬레이션 결과는 비선형성과 교란이 존재하는 비선형 시스템에서 $ y_d = 2\sin t $ 를 추적할 때 제어기가 빠르고 정확한 출력 추적을 달성함을 보여준다.
• 슬라이딩 모드 제어기는 슬라이딩 표면 $ \sigma(t) = 0 $ 으로의 유한 시간 수렴을 보장하며, 이후 시스템은 안정적인 저차원 동역학 상태를 유지한다.
• 이론적 분석은 닫힌 루프 시스템이 점근적으로 안정적이며, 리아푸노프 함수가 $ \eta_1 \Phi $ 비례하는 비율로 감소함을 확인하여 오차 에너지의 지수 감소를 보장한다.