[논문 리뷰] Overdetermined conservative 2D Systems, Invariant in One Direction and a Generalization of Potapov's theorem

Andrey Melnikov, Victor Vinnikov|ArXiv.org|2008. 12. 20.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Potapov의 정리를 한 방향으로 불변인 보존적, 과잉결정된 2차원 시스템의 일종으로 일반화하며, $\infty$에서 항등함수인 내부 함수 $S(\lambda,t_2)$의 클래스 $Σ\mathcal{C}I$를 도입한다. 번역 모델과 선형선형 이론을 사용하여 이러한 함수의 곱분해를 증명하며, 시간에 따라 변하는 시스템에 대해 고전적인 Blacke-Potapov 곱공식을 $t_2$-의존적인 연산자를 가진 시스템으로 확장한다.

ABSTRACT

This work is a direct continuation of the authors work arXiv:0812.3779v1. A special case of conservative overdetermined time invariant 2D systems is developed and studied. Defining transfer function of such a systems we obtain a class CI of inner functions $S(λ,t_2)$, which are identity for $λ=\infty$, satisfy certain regularity assumptions and intertwines solutions of ODEs with a spectral parameter $λ$. Using translation model, we prove that every function in the class CI can be realized as a transfer function of a certain vessel. The highlight of this theory is a generalization Potapov's theorem, which gives a very special formula for such a function in the form of multiplication of Blacke-Potapov products, corresponding to the discrete spectrum of certain system operator $A_1(t_2)$ and of multiplicative integral, corresponding to the continuous spectrum of $A_1(t_2)$. This theorem is proved under a slightly more restrictive assumptions, then the development of the whole theory. Namely, we suppose that the derivative of the transfer function is a continuous function of $t_2$ for almost all $λ$. At the last part zero/pole interpolation problem for matrix functions in CI is considered and a realization theorem of such functions appeared in arXiv:0812.3779v1 (theorem 8.1) is reproved. Hermitian case is also analyzed and the corresponding realization theorem is proved.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 보존적 2차원 시스템에 대해 Potapov의 고전적 특성 함수 정리를 더 넓은 범위로 확장하는 것.
• 특성 조건을 만족하고 $\lambda = \infty$에서 항등함수인 내부 함수 $S(\lambda,t_2)$의 클래스 $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$를 정의하고 분석하는 것.
• $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$에 속하는 모든 함수가 보존적 선형선형의 전이 함수로 나타남을 보여주는 실현 정리 수립.
• $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$에 속하는 행렬 함수에 대한 영점/극점 보간 문제를 해결하고, 이전 연구에서의 실현 결과를 재증명 및 확장하는 것.
• 추가적인 대칭성 및 양성 조건 하에서 헤르미트 실현 정리 수립하여 시스템을 결합 조건과 유니터리 동치로 연결하는 것.

제안 방법

• 보존적 선형선형 이론에 기반한 번역 모델을 개발하여 게이지 등가성과 미분형식을 사용하여 시스템 동역학을 스펙트럼 데이터와 연결한다.
• 보존적 선형선형의 전이 함수 $S(\lambda,t_2)$를 정의하여 $\lambda = \infty$에서 항등함수이고 $t_2$에 대해 정칙임을 보장한다.
• 기본 행렬 $\Phi_*(\lambda,t_2,t_2^0)$ 및 $\Phi(\lambda,t_2,t_2^0)$을 사용하여 $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$에 속하는 함수를 선형선형의 구성으로 실현하며, 선형선형 조건을 만족시킨다.
• 곱분할 적분과 삼각형 형태를 사용하여 시스템 연산자 $A_1(t_2)$의 연속적 및 이산적 스펙트럼 성분을 각각 표현한다.
• 이산 스펙트럼 데이터를 갖는 선형선형을 커플링 행렬 $\gamma^d$를 통해 구성하고, 극한 과정을 통해 연속 스펙트럼 데이터로 확장한다.
• 유니터리 동치와 운동학적 변환($Y(t_2) = \sqrt{X(t_2)}$를 통해)을 적용하여 결합 조건 $\tilde{A}_1 + \tilde{A}_1^* = -\tilde{C}^*\sigma_1\tilde{C}$를 유도하며, 보존성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Potapov의 특성 함수에 대한 곱분해가 시간에 따라 변하는 보존적 2차원 시스템으로 한 방향으로 불변일 경우 일반화될 수 있는가?
• RQ2 $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$에 속하는 행렬 함수 $S(\lambda,t_2)$가 보존적 선형선형의 전이 함수로 나타나기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$에 속하는 행렬 함수에 대한 영점/극점 보간 문제는 어떻게 해결할 수 있으며, 이러한 실현의 구조는 어떠한가?
• RQ4 헤르미트 성질을 가진 $S(\lambda,t_2)$가 결합 조건을 만족하는 보존적 선형선형 실현을 갖기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ5 $A_1(t_2)$의 이산적 및 연속적 스펙트럼 성분이 $S(\lambda,t_2)$의 곱셈적 구조에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• $S(\lambda,t_2)$의 도함수가 거의 모든 $\lambda$에 대해 $t_2$에 대해 연속일 경우, $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$에 속하는 모든 함수는 보존적 선형선형의 전이 함수로 실현될 수 있다.
• 전이 함수 $S(\lambda,t_2)$는 이산 스펙트럼에 대한 Blacke-Potapov 인자들의 곱과 시스템 연산자 $A_1(t_2)$의 연속 스펙트럼에 대한 곱분할 적분의 곱으로 분해될 수 있다.
• $S(\lambda,t_2)$에 대한 영점/극점 보간 문제는 커플링 행렬 $X(t_2)$를 사용하여 유일한 실현을 구성함으로써 해결되며, $X(t_2)^{-1}B(t_2)$는 입력의 수반 미분방정식을 만족한다.
• 헤르미트 경우에 대해 보존적 선형선형 실현이 존재하기 위한 조건은 $S(\infty,t_2) = \infty$, $\Re\lambda > 0$에서 $S(\lambda,t_2)\sigma_1^{-1}S^*(\lambda,t_2) \geq \sigma_1^{-1}$, 그리고 $S(\lambda,t_2)\sigma_1^{-1}S^*(-\bar{\lambda},t_2) = \sigma_1^{-1}$를 만족하며, 이는 결합 조건이 성립함을 보장한다.
• 실현은 $Y(t_2) = \sqrt{X(t_2)}$를 사용한 유니터리 동치를 통해 달성되며, 이는 $\tilde{A}_1(t_2)$가 $\tilde{A}_1 + \tilde{A}_1^* = -\tilde{C}^*\sigma_1\tilde{C}$를 만족하도록 변환하여 보존성을 확인한다.
• 논문은 힐버트 공간의 구조를 고정한 채로 연산자 $A_1(t_2)$를 변화시키거나, 반대로 내적을 $X(t_2)^{-1}$를 통해 변화시키면서 연산자를 고정함으로써 실현을 유지할 수 있음을 증명한다.