[논문 리뷰] Overlapping latin subsquares and full products

Joshua M. Browning, Petr Vojtěchovský외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 18.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 라틴 제곱의 순서 n에서 순서 a, b, 및 c의 겹치는 라틴 부분제곱이 존재하기 위한 필요 및 충분 조건을 확립한다. 여기서 A와 B는 순서 c의 부분제곱 C에 대해 겹친다. 라이저의 조건과 기호 분포에 대한 조합적 제약을 사용하여, 이러한 부분제곱의 존재가 유일하게 n ≥ 2(a + b − c) 및 a ≥ 2c일 때 보장된다는 것을 증명한다. 기호 수는 |S| = n − (a + b − c)를 포함하는 유도된 부등식을 만족해야 한다.

ABSTRACT

We derive necessary and sufficient conditions for there to exist a latin square of order $n$ containing two subsquares of order $a$ and $b$ that intersect in a subsquare of order $c$. We also solve the case of two disjoint subsquares. We use these results to show that: (a) A latin square of order $n$ cannot have more than $\frac nm{n \choose h}/{m\choose h}$ subsquares of order $m$, where $h=\lceil(m+1)/2 ceil$. Indeed, the number of subsquares of order $m$ is bounded by a polynomial of degree at most $\sqrt{2m}+2$ in $n$. (b) For all $n\ge5$ there exists a loop of order $n$ in which every element can be obtained as a product of all $n$ elements in some order and with some bracketing.

연구 동기 및 목표

• 두 라틴 부분제곱 A와 B가 순서 n의 더 큰 라틴 제곱 내에서 공통 부분제곱 C(순서 c)와 겹치기 위한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 특히 (a−c)×(b−c) 및 (b−c)×(a−c) 영역 X와 Y에서 부분제곱이 겹치는 영역 주변의 기호 분포에 대한 제약 조건을 분석하는 것.
• 사용되지 않는 기호의 수 |S| = n − (a + b − c)와 주변 영역의 크기를 포함하는 조합적 부등식을 수립하여 기호 빈도 요구 조건을 충족시키는 것.
• 유도된 조건이 이러한 겹치는 부분제곱의 존재에 대해 필수적이고 충분함을 증명하는 것.
• 라인저의 조건을 기반으로 한 엄밀한 적용을 통해 라틴 제곱의 전체 곱과 부분제곱 구조에 대한 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 부분제곱 A 또는 B에 포함되지 않은 기호의 집합 S를 정의하고, |S| = n − (a + b − c)로 하여 주변 영역의 기호 가용성을 분석한다.
• 영역 X와 Y를 각각 (a−c)×(b−c) 및 (b−c)×(a−c) 부분행렬로 모델링하며, 이들은 S에 속한 기호로만 채워야 한다.
• R = A ∪ B ∪ X ∪ Y에 대해 라이저의 조건을 적용하여, S에 속한 각 기호가 X ∪ Y에서 최소 2(a + b − c) − n번 나타나야 한다고 요구한다.
• 부등식 2(a−c)(b−c) ≥ (2(a + b − c) − n)|S|를 도출하며, 이는 대수적으로 재정렬되어 핵심 조건 (LABEL:e:hardcond)을 얻는다.
• 이 부등식을 통해 X ∪ Y에서 각 기호가 충분히 자주 나타나 R에서의 라이저의 하한 기준을 충족시킬 수 있음을 보장한다.
• 단계별로 라틴 제곱을 구성한다: 먼저 A, B, 및 C를 배치한 후, 빈도 및 분포 제약 조건을 만족하도록 S의 기호로 X와 Y를 채운다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라틴 제곱의 순서 n에서 순서 a와 b의 두 라틴 부분제곱이 공통 부분제곱(순서 c)과 겹치기 위해 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ2 A와 B 외부 영역에서 사용되지 않는 기호는 몇 개인가? 이는 주변 영역을 채우는 데 영향을 미치는가?
• RQ3 사용되지 않는 각 기호가 주변 영역 X와 Y에서 최소 몇 번 이상 나타나야 라이저의 조건을 충족하는가?
• RQ4 유도된 부등식이 이러한 라틴 제곱 구성의 존재를 보장하기에 충분한 조건은 언제인가?
• RQ5 명시적인 X와 Y에서의 기호 분포 구성으로 필수 조건이 충분함을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 조건 a ≥ 2c는 C가 A의 부분제곱이므로 c < a라는 사실에서 도출된다.
• 조건 b ≥ a − c는 영역 X(크기 (a−c)×(b−c))가 첫 번째 행을 채우기 위해 충분한 S의 기호를 가져야 한다는 요구 조건에서 유추된다.
• 핵심 부등식 2(a−c)(b−c) ≥ (2(a + b − c) − n)|S|는 겹치는 부분제곱의 존재에 대해 필수적이고 충분하다.
• 조건이 만족되면, S에 속한 각 기호는 X ∪ Y에서 최소 2(a + b − c) − n번 나타나며, 이는 전체 영역 R에 대한 라이저의 조건을 충족시킨다.
• 조건 a ≥ 2c 및 b ≥ a − c를 만족할 경우, 기호 빈도 및 영역 크기 제약 조건이 모두 충족되어 구성이 가능하다.
• 논문은 기호 S를 X ∪ Y에 배치함으로써 각 기호가 최소 ⌊2(a−c)(b−c)/|S|⌋번 이상 나타나도록 할 수 있음을 보여, R에서 요구되는 빈도를 확보함으로써 유도된 조건이 충분함을 증명한다.