[논문 리뷰] p-Adic distribution of CM points and Hecke orbits. II: Linnik equidistribution on the supersingular locus

Sebastián Herrero, Ricardo Menares외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 09.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 28인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 ℂ_p 위의 타원곡선에서 복소수 평탄한 점들의 p-진 동치분포 정리인 Linnik의 정리에 p-진 해석을 적용하여, 특정 조건 하에서 초특이 부분공간 내의 복소수 평탄한 점들이 p-진 구면에 균일하게 분포됨을 보여준다. Deformation theory와 모듈러 형식의 푸리에 계수에 대한 경계를 이용해, p-진 판별식 노름이 유계인 복소수 평탄한 점의 모든 집적 측도를 규명하였으며, 이는 대칭성 붕괴로 인해 복소수 경우와 달리 무한히 많은 이러한 측도가 존재함을 드러낸다.

ABSTRACT

For a prime number $p$, we study the asymptotic distribution of CM points on the moduli space of elliptic curves over $\mathbb{C}_p$. In stark contrast to the complex case, in the $p$-adic setting there are infinitely many different measures describing the asymptotic distribution of CM points. In this paper we identify all of these measures. A key insight is to translate this problem into a $p$-adic version of Linnik's classical problem on the asymptotic distribution of integer points on spheres. To do this translation, we use the close relationship between the deformation theories of elliptic curves and formal modules and then apply results of Gross and Hopkins. We solve this $p$-adic Linnik problem using a deviation estimate extracted from the bounds for the Fourier coefficients of cuspidal modular forms of Deligne, Iwaniec and Duke. We also identify all accumulation measures of an arbitrary Hecke orbit.

연구 동기 및 목표

• ℂ_p 위의 타원곡선 모듈리 공간, 특히 초특이 부분공간 내에서 복소수 평탄한 점들의 渐近 분포를 기술하는 것.
• p-진 판별식 노름이 0으로부터 유계이도록 하는 복소수 평탄한 점 수열의 모든 집적 측도를 규명하는 것.
• 정수 점들이 구면 위에 분포하는 Linnik의 고전적 동치분포 문제에 대한 p-진 해석을 수립하는 것.
• 등분포 결과를 Hecke 궤도로 확장하고, 예를 들어 S-단위인 특수 모듈러가 유한함을 보이는 산술 문제에 적용하는 것.
• 고정된 p-진 이차 확장 내에서 기본 판별식의 경우를 해결하는 것으로, 계량 이론적 대칭성 붕괴로 인해 두 개의 집적 측도가 발생할 수 있음을 밝혀내는 것.

제안 방법

• 타원곡선과 형식적 모듈러의 변형 이론을 통해 복소수 평탄한 점을 p-진 구면 위의 정수 점들과 연결함으로써, p-진 분포 문제를 p-진 Linnik 문제로 변환하는 것.
• Gross-Hopkins 이론을 이용해 복소수 평탄한 점들을 p-진 사원수 대수의 3차원 부분공간에 매립시키며, 이를 p-진 구면 위의 격자점으로 모델링하는 것.
• Deligne, Iwaniec, Duke의 모듈러 형식의 임계형 푸리에 계수에 대한 경계로부터 유도된 편차 추정을 활용해 동치분포 오차 항을 제어하는 것.
• p-진 판별식과 그에 관련된 이차 확장의 분류를 통해 복소수 평탄한 점의 모든 집적 측도를 특성화하는 것.
• 동일한 해석적 도구를 사용하여 p-진 Linnik 문제로 축소함으로써 부분 Hecke 궤도에 대한 동치분포를 증명하는 것.
• 계량 이론을 활용해, p가 기본 판별식을 나누는 유일한 소수일 경우에 발생하는 특별한 경우에서 두 개의 집적 측도가 발생하는 이유를 설명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p-진 판별식의 노름이 양수로 유계이면, ℂ_p 위의 타원곡선 모듈리 공간의 초특이 부분공간 내 복소수 평탄한 점들의 집적 측도는 무엇인가?
• RQ2 p-진 분포에서 복소수 경우와 비교해 복소수 평탄한 점의 p-진 분포는 어떻게 다를까? 복소수에서는 동치분포가 성립한다는 것이 알려져 있다.
• RQ3 정수 점들이 구면 위에 분포하는 Linnik의 동치분포 정리에 대한 p-진 해석은 무엇이며, 이를 복소수 평탄한 점에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ4 고정된 p-진 이차 확장 내에서 변하는 도함수를 갖는 고정된 기본 판별식의 경우가 두 개의 서로 다른 집적 측도를 유도하는 이유는 무엇인가?
• RQ5 p-진 설정에서 복소수 평탄한 점의 동치분포 결과를 어떻게 Hecke 궤도로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 복소수 경우에서 유일한 극한이 존재하는 것과 달리, ℂ_p 위의 복소수 평탄한 점 확률 측도 수열에 대해 무한히 많은 서로 다른 집적 측도가 존재한다.
• 고정된 p-진 이차 확장 내에서 판별식이 p-진 노름으로 유계이면서 복소수 평탄한 점 수열이 존재할 경우, 대부분의 경우 초특이 부분공간 위의 균일 측도로 수렴하지만, 특별한 경우에만 두 개의 집적 측도가 존재한다.
• 두 개의 집적 측도가 존재하는 특별한 경우는 기본 판별식이 p로만 나누어지는 경우에 정확히 발생하며, 이는 계량 이론이 대칭성 붕괴 현상을 유도하기 때문이다.
• Deligne, Iwaniec, Duke의 임계형 모듈러 형식의 푸리에 계수에 대한 경계로부터 도출된 편차 추정을 활용해 p-진 Linnik 동치분포 결과를 확립하였다.
• 모든 임의의 Hecke 궤도에 대한 집적 측도를 규명하였으며, 동일한 p-진 구면 모델을 통해 Hecke 궤도 설정으로 동치분포 결과를 확장하였다.
• 이 결과를 응용하여, 임의의 소수 집합 S에 대해 S-단위인 특수 모듈러가 유한개 뿐임을 증명하였으며, 이는 Habegger의 결과를 일반화한 것이다.