[논문 리뷰] p-adic path set fractals

William C. Abram, Jeffrey C. Lagarias|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 09.

advanced mathematical theories인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 그래프-지향 구성과 유한 오토마타 경로를 통해 Z_p 내에 정의된 p-진 분수 집합의 클래스를 소개하며, 이들이 p-진 덧셈, p-정수 유리수에 대한 곱셈, 그리고 민코프스키 합에 대해 닫혀 있음을 증명한다. 이러한 결과들은 순수하게 p-진 수 체계에서만 성립하며, 실수에서는 성립하지 않는다. 또한 이러한 집합의 하우스도르프 차원에 대한 계산 가능한 공식을 수립한다.

ABSTRACT

This paper considers a class C(Z_p) of closed sets of the p-adic integers obtained by graph-directed constructions analogous to those of Mauldin and Williams over the real numbers. These sets are characterized as collections of those p-adic integers whose p-adic expansions are describeed by paths in the graph of a finite automaton issuing from a distinguished initial vertex. This paper shows that this class of sets is closed under the arithmetic operations of addition and multiplication by p-integral rational numbers. In addition the Minkowski sum (under p-adic addition) of two set in the class is shown to also belong to this class. These results represent purely p-adic phenomena in that analogous closure properties do not hold over the real numbers. We also show the existence of computable formulas for the Hausdorff dimensions of such sets.

연구 동기 및 목표

• 그래프-지향 구성과 유한 오토마타를 이용하여 p-진 정수의 닫힌 부분집합의 클래스를 정의하고 특성화하기.
• 이러한 집합들이 p-진 산술 연산, 특히 덧셈과 p-정수 유리수에 대한 곱셈에 대해 닫혀 있는지 조사하기.
• 두 집합의 민코프스키 합이 동일한 클래스에 속한다는 것을 보여주며, 이는 p-진 설정에서만 성립하는 성질임을 입증하기.
• 이러한 분수 집합의 하우스도르프 차원에 대한 계산 가능한 공식을 수립하기.
• 유사한 닫힘 결과가 실수 체계에서는 성립하지 않음을 보여줌으로써 p-진 수와 실수 간의 차이를 부각하기.

제안 방법

• 유한 오토마타의 초기 정점에서 출발하는 경로를 따라 전개되는 p-진 정수의 전개를 따르는 p-진 정수의 집합으로서 p-진 분수 집합을 구성한다.
• 모우드린과 윌리엄스의 기법과 유사한 그래프-지향 구성 기법을 사용하지만, p-진 위상구조에 맞게 조정한다.
• p-진 정수의 구조와 그 전개 방식을 이용하여 오토마타 이론적 제약 조건을 통해 분수 집합을 정의한다.
• p-진 산술 연산(덧셈, p-정수 유리수에 대한 곱셈)을 적용하여 닫힘 성질을 분석한다.
• 위상수학적 및 측도론적 도구를 활용하여 오토마타의 구조에 기반한 하우스도르프 차원 공식을 유도한다.
• 결과를 실수 체계의 유사한 경우와 비교하여, 닫힘 현상이 순수하게 p-진 수 체계에서만 성립한다는 점을 강조한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 초기 상태에서 유한 오토마타의 경로를 따라 전개되는 p-진 정수의 집합으로서 기술할 수 있는 p-진 정수의 부분집합은 무엇인가?
• RQ2 이러한 집합들은 p-진 덧셈과 p-정수 유리수에 대한 곱셈에 대해 닫혀 있는가?
• RQ3 두 집합의 민코프스키 합도 동일한 클래스에 속하는가?
• RQ4 이러한 집합의 하우스도르프 차원은 오토마타의 구조에 기반한 공식으로 계산 가능한가?
• RQ5 이러한 닫힘 성질이 실수 체계에서는 성립하지 않는 이유는 무엇이며, 이는 순수하게 p-진 수 체계에서만 나타나는 현상임을 어떻게 설명할 수 있는가?

주요 결과

• p-진 경로 집합 분수 집합의 클래스는 p-진 덧셈에 대해 닫혀 있다.
• 이 클래스는 p-정수 유리수에 대한 곱셈에 대해도 닫혀 있다.
• 이 클래스에 속한 두 집합의 민코프스키 합 역시 동일한 클래스에 속한다.
• 이러한 닫힘 성질은 실수 체계에 대한 유사한 집합에서는 성립하지 않으며, 순수하게 p-진 수 체계에서만 나타나는 현상임을 입증한다.
• 이러한 집합의 하우스도르프 차원에 대한 계산 가능한 공식이 존재하며, 오토마타의 구조에서 유도된다.
• 차원 공식은 정의하는 유한 오토마타의 전이 구조로부터 명시적으로 구성 가능하다.