[논문 리뷰] Pairs of positive solutions for resonant singular equations with the $p$-Laplacian

Nikolaos S. Papageorgiou, Vicenţiu D. Rădulescu외 1명|Repository of the University of Ljubljana (University of Ljubljana)|2017. 10. 07.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 11인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 p-라플라시안에 의해 구동되는 공진 특이 타원형 방정식에 대해 최소 두 개의 양의 매끄러운 해가 존재함을 증명한다. 이 방정식은 특이항 $u^{-\mu}$와 $+\infty$에서 첫 번째 고유값에 대해 공진하는 $(p-1)$-선형 변형 $f(z,u)$를 포함한다. 변분 방법, 잘라내기 기법, 산맥 정리 등을 사용하여 $f$에 대한 적절한 가정 하에 임계점 이론을 통해 다중성을 입증한다. 주요 기여는 p-라플라시안을 고려한 특이 공진 문제에 대한 새로운 다중성 결과이다.

ABSTRACT

We consider a nonlinear elliptic equation driven by the Dirichlet $p$-Laplacian with a singular term and a $(p-1)$-linear perturbation which is resonant at $+\infty$ with respect to the principal eigenvalue. Using variational tools, together with suitable truncation and comparison techniques, we show the existence of at least two positive smooth solutions.

연구 동기 및 목표

• 특이 타원형 방정식에 대해 p-라플라시안과 공진 비선형성을 갖는 다수의 양의 해가 존재함을 입증하는 것.
• 반응항에 $0 < \mu < 1$인 특이항 $u^{-\mu}$와 $+\infty$에서 공진하는 $(p-1)$-선형 성장 특성을 갖는 변형 $f(z,u)$를 포함하는 경우를 분석하는 것.
• p-라플라시안의 맥락에서 공진성과 특이성을 통합함으로써 기존의 특이 문제에 대한 다중성 결과를 확장하는 것.
• 특이성과 공진성의 구조를 다룰 수 있는 변분 프레임워크를 잘라내기 및 비교 기법을 통해 제공하는 것.

제안 방법

• 에너지 함수에 관련된 임계점을 식별하기 위해 산맥 정리를 사용한다.
• 반응항 $f(z,u)$를 성장 조건이 제어된 Carathéodory 함수로 수정하기 위해 잘라내기 기법을 적용하여 변분 방법의 적용을 가능하게 한다.
• Sobolev 공간 $W^{1,p}_0(\Omega)$에서 Palais-Smale 수열의 컴acts를 보장하기 위해 Cerami 조건을 활용한다.
• 비교 원리와 강한 최대원리를 사용하여 $\mathrm{int}\,C_+$ 내에서 해의 양성과 정칙성을 확립한다.
• 해를 순서 간격 $[\underline{u}, w]$ 내에 봉인하기 위해 하한 해 $\underline{u}$와 상한 해 $w$를 구성하여 양성을 보장한다.
• 특히 주된 고유값 $\hat{\lambda}_1$을 포함한 p-라플라시안의 스펙트럼 이론을 활용하여 공진 조건을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 공진 p-라플라시안 문제에서 두 개 이상의 양의 해가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 비선형 타원형 PDE에서 특이성과 공진성을 동시에 다룰 수 있도록 변분 방법을 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ3 무한대에서 $f(z,u)$의 $(p-1)$-선형 성장 특성이 해의 다중성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 주 고유값에서의 특이항과 공진성 존재 조건이 산맥 정리를 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ5 잘라내기 및 비교 기법이 특이성과 공진성의 조건 하에서 두 개의 서로 다른 양의 해가 존재함을 입증하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 가정 (H1) 하에 문제는 $\mathrm{int}\,C_+$ 내에서 최소 두 개의 양의 매끄러운 해 $u_0$와 $\hat{u}$를 갖는다.
• 첫 번째 해 $u_0$는 $C^1_0(\overline{\Omega})$ 내에서 에너지 함수 $\varphi_0$의 국소 최소화자이며, $W^{1,p}_0(\Omega)$ 내에서도 국소 최소화자이다.
• 두 번째 해 $\hat{u}$는 산맥 정리를 통해 구하여지며, $\varphi_0(\hat{u}) \geq m_\rho > \varphi_0(u_0)$를 만족하여 $u_0$와 다름을 보장한다.
• 에너지 함수 $\varphi_0$는 Cerami 조건을 만족하여, 임의의 유계 Palais-Smale 수열에 대해 수렴하는 부분수열이 존재함을 보장한다.
• 함수 $\varphi_0$는 순서 간격 $[\underline{u}, w]$에서 아래로 유계이며, 그 임계점들은 $[\underline{u}, w] \cap C_+$ 내에 존재하여 양성을 보장한다.
• $F(z,x)/x^p$의 점근적 행동은 $\limsup_{x \to \infty} pF(z,x)/x^p \leq \eta(z)$ 및 $\liminf_{x \to \infty} pF(z,x)/x^p \geq \hat{\lambda}_1$를 만족하여, 첫 번째 고유값에 대해 $+\infty$에서의 공진성을 확인한다.