[논문 리뷰] Parameter Transfer for Quantum Approximate Optimization of Weighted MaxCut

Ruslan Shaydulin, Phillip C. Lotshaw외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 가중치가 있는 MaxCut 문제에 대해 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)의 간단한 스케일링 기반 매개변수 이행 방법을 제안한다. 이 방법은 가중치가 없는 인스턴스에서 구한 고성능 매개변수를 효과적으로 재사용할 수 있도록 하며, 직접 최적화한 결과와 비교해 중앙값 근사 비율 격차가 단지 2.0个百分点(백분율 포인트)에 불과하며, 사전 학습된 메타분포를 사용해 추가로 10회의 회로 평가를 더하면 이 격차가 1.2 p.p.로 줄어든다. 또한 단일 BFGS 실행으로 96.35%의 경우에서 최적에 가까운 성능을 회복한다.

ABSTRACT

Finding high-quality parameters is a central obstacle to using the quantum approximate optimization algorithm (QAOA). Previous work partially addresses this issue for QAOA on unweighted MaxCut problems by leveraging similarities in the objective landscape among different problem instances. However, we show that the more general weighted MaxCut problem has significantly modified objective landscapes, with a proliferation of poor local optima. Our main contribution is a simple rescaling scheme that overcomes these deleterious effects of weights. We show that for a given QAOA depth, a single "typical" vector of QAOA parameters can be successfully transferred to weighted MaxCut instances. This transfer leads to a median decrease in the approximation ratio of only 2.0 percentage points relative to a considerably more expensive direct optimization on a dataset of 34,701 instances with up to 20 nodes and multiple weight distributions. This decrease can be reduced to 1.2 percentage points at the cost of only 10 additional QAOA circuit evaluations with parameters sampled from a pretrained metadistribution, or the transferred parameters can be used as a starting point for a single local optimization run to obtain approximation ratios equivalent to those achieved by exhaustive optimization in $96.35\%$ of our cases.

연구 동기 및 목표

• 가중치가 있는 MaxCut 문제에 대해 QAOA 매개변수를 최적화하는 데 드는 높은 계산 비용을 해결하기 위해.
• 이전에 가중치가 없는 MaxCut에서 관찰된 매개변수 집중 현상이 더 일반적인 가중치가 있는 MaxCut 케이스로까지 확장되는지 조사하기 위해.
• 다양한 가중치가 있는 그래프 인스턴스에서 높은 근사 비율을 유지하는 실용적이고 저비용의 매개변수 이행 체계를 개발하기 위해.
• 이상적인 가중치 분포와 실패 모드에 대한 저항성을 평가하고, 실패 원인을 규명하기 위해.
• 이행된 매개변수들이 국소 최적화의 효과적인 초기값으로 기능할 수 있는지 보여주며, 전체 매개변수 탐색의 필요성을 크게 줄이기 위해.

제안 방법

• 가중치가 없는 인스턴스와 가중치가 있는 인스턴스 간 평균 간선 가중치의 비율에 기반해, 가중치가 없는 MaxCut 인스턴스에서의 중앙값 매개변수를 가중치가 있는 MaxCut 문제에 적용할 수 있도록 스케일링 기법을 제안한다.
• 261,080개의 9노드 가중치가 없는 MaxCut 인스턴스에서 사전 최적화된 매개변수의 중앙값을 새로운 가중치가 있는 인스턴스로의 이행을 위한 '표준' 매개변수 벡터로 사용한다.
• 고성능 QAOA 매개변수의 메타분포를 학습하기 위해 커널 밀도 추정(KDE)을 적용하여, 성능 향상을 위해 10개의 추가 매개변수 세트를 샘플링할 수 있도록 한다.
• 각 인스턴스에 대해 중앙값 매개변수와 KDE로 샘플링한 10개의 매개변수 중 최고의 근사 비율을 평가하며, 인스턴스당 총 11회 이하의 QAOA 회로 평가만을 사용한다.
• 이행된 매개변수에서 초기화된 BFGS 최적화 알고리즘을 적용해 결과를 추가로 개선하고, 직접 최적화한 성능에 수렴하는지 평가한다.
• 34,701개의 다양한 크기와 가중치 분포를 가진 가중치가 있는 MaxCut 인스턴스를 대상으로, 이행된 매개변수와 직접 최적화된 매개변수 간의 근사 비율 격차를 정량화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 간단한 스케일링 기법을 사용해 가중치가 없는 MaxCut에서의 매개변수 이행을 가중치가 있는 MaxCut로 성공적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 다양한 가중치가 있는 MaxCut 인스턴스에서 이행된 매개변수의 성능은 직접 최적화된 매개변수와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 사전 학습된 메타분포를 사용해 추가로 최소한의 회로 평가를 더하면 성능 격차를 추가로 줄일 수 있는가?
• RQ4 이행된 매개변수 세트는 국소 최적화의 효과적인 초기값으로 기능하는가? 이를 통해 근사 최적 성능을 회복할 수 있는가?
• RQ5 매개변수 이행의 실패 모드는 무엇이며, 이상적인 가중치 분포가 성능에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 20개 이하의 노드와 다양한 가중치 분포를 가진 34,701개의 가중치가 있는 MaxCut 인스턴스에서, 이행된 매개변수와 직접 최적화된 매개변수 간의 중앙값 근사 비율 격차는 단지 2.0 percentage points(백분율 포인트)에 불과하다.
• KDE 기반 메타분포에서 샘플링한 10개의 추가 QAOA 회로 평가를 통해 성능을 향상시키면 중앙값 격차가 1.2 p.p.로 줄어든다.
• 이행된 매개변수를 단일 BFGS 최적화 런의 초기값으로 사용하면 96.35%의 경우에서 직접 최적화한 결과와 동일한 근사 비율을 회복한다.
• QAOA 깊이가 증가할수록 격차가 커지며(깊이 p=3일 때 1.8 p.p.), 더 어려운 가중치 분포일수록 격차가 커지지만(지수 분포일 경우 2.7 p.p.), 여전히 관리 가능한 수준이다.
• 심지어 볼츠만 분포를 따르는 이상한 Cauchy 분포 가중치에 대해서도 이행된 매개변수는 BFGS의 초기값으로 효과적으로 기능하며, 극단적인 분포에 대해서도 강건함을 보인다.
• 결과적으로, 적절한 스케일링을 통해 QAOA에서의 매개변수 집중 현상이 가중치가 있는 MaxCut로까지 확장됨을 시사하며, 근접한 양자 우월성에 대한 광범위한 적용 가능성을 뒷받침한다.