[논문 리뷰] Parametric estimation of Lévy processes

H. Masuda|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 47인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고주기 샘플링을 이용한 무한 활동 순수 점프 성분을 갖는 Lévy 과정의 매개수 추정에 대한 이론적 프레임워크를 제시한다. 다양한 수렴 속도에서 명시적 추정 함수의 점근적 정규성을 확립하고 통계적 랜덤 필드에 대한 균일한 꼬리 확률 한계를 제공하며, 안정적이고 국소 안정적인 Lévy 과정에 대한 모멘트 방법 추정의 상세 분석을 수행한다.

ABSTRACT

The main purpose of this chapter is to present some theoretical aspects of parametric estimation of Lévy processes based on high-frequency sampling, with a focus on infinite activity pure-jump models. Asymptotics for several classes of explicit estimating functions are discussed. In addition to the asymptotic normality at several rates of convergence, a uniform tail-probability estimate for statistical random fields is given. As specific cases, we discuss method of moments for the stable Lévy processes in much greater detail, with briefly mentioning locally stable Lévy processes too. Also discussed is, due to its theoretical importance, a brief review of how the classical likelihood approach works or does not, beyond the fact that the likelihood function is not explicit.

연구 동기 및 목표

• 무한 활동 순수 점프 성분을 갖는 Lévy 과정의 매개수 추정을 위한 이론적으로 탄탄한 접근법을 개발하는 것.
• 고주기 샘플링 체계 하에서 명시적 추정 함수의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 추정 과정에서 발생하는 통계적 랜덤 필드에 대한 균일한 꼬리 확률 추정을 제공하는 것.
• 이론적 모멘트 방법 추정을 사용하여 안정적이고 국소 안정적인 Lévy 과정에 대한 세부 사례 연구를 수행하는 것.
• 확률 밀도 함수가 해석적으로 구하기 어려운 경우 최대우도 추론의 한계와 실현 가능성에 대한 명확화

제안 방법

• 시간 간격 $T_n \to \infty$ 동안 Lévy 과정 경로의 고주기 이산 샘플링을 사용한다.
• 증분 $\Delta^n_j Y = Y_{t^n_j} - Y_{t^n_{j-1}}$ 의 경험적 모멘트에 기반한 명시적 추정 함수를 활용한다.
• 증분 분포의 특성 함수 및 모멘트 생성 함수에 대한 조건 하에서 $\sqrt{T_n}$ 수렴 속도에서 점근적 정규성을 도출한다.
• 추정의 확률적 변동성을 제어하기 위해 통계적 랜덤 필드에 대한 균일한 꼬리 확률 한계를 적용한다.
• $h_n^{-1} \mathbb{E}_0[\varphi(X_{h_n})]$ 의 수렴 속도 분석을 통해 추정 함수의 일致성 확보
• Lévy 측도가 해석적으로 다룰 수 있지만 전이 밀도는 다루기 어려운 특수한 경우, 예를 들어 안정적 Lévy 과정을 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고주기 샘플링 하에서 무한 활동 Lévy 과정의 추정 함수의 점근적 성질은 무엇인가?
• RQ2 전이 밀도가 다루기 어려운 경우 안정적 Lévy 과정에 대한 모멘트 방법 추정자는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 고주기 샘플링된 Lévy 과정에 대해 $\sqrt{T_n}$ 수렴 속도에서 추정자의 점근적 정규성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 Lévy 과정의 비우도 추정에서 통계적 랜덤 필드에 대한 균일한 꼬리 확률 한계를 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ5 많은 Lévy 과정에서 고전적 최대우도 추론이 왜 실현 불가능한가? 그 대안은 무엇인가?

주요 결과

• 적절한 정규성 및 모멘트 조건 하에서 $\sqrt{T_n}$ 수렴 속도에서 추정 함수의 점근적 정규성이 확립된다.
• 안정적 Lévy 과정의 경우 전이 밀도가 다루기 어려운 상황에서도 모멘트 방법 추정자가 점근적 정규성을 달성한다.
• 통계적 랜덤 필드에 대한 균일한 꼬리 확률 한계가 도출되어 추정 오차의 비점근적 제어가 가능해진다.
• 함수 $\varphi$ 에 대한 부드러움과 영속성 조건 하에서 $h_n^{-1} \mathbb{E}_0[\varphi(X_{h_n})]$ 의 수렴 속도가 $O(h_n)$ 임을 보였다.
• 최대우도 기반 추론은 일반적으로 가능하지 않으며, $\mathcal{L}(X_1)$ 이 닫힌 형태의 밀도를 갖더라도 명시적 우도 함수가 없기 때문이다.
• 확산 성분과 점프 성분의 공존은 추정을 복잡하게 만들며, 이를 분리하기 위해 임계값 기반 방법이 필요하지만, 최적의 임계값 선택은 여전히 유한 표본 문제로 남아 있다.