[논문 리뷰] Parametric measures of variability induced by risk measures

Fabio Bellini, Tolulope Fadina외 2명|Open Access at Essex (University of Essex)|2020. 12. 09.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 위험 측도에서 유도된 매개변수적 변동성 측도—특히 상호 기대손실 차이, 상호 기대값 차이, 상호 분위수 차이—를 위한 통합 프레임워크를 제안한다. 대칭적이고 동조적인 변동성 측도가 상호 기대손실 차이의 혼합으로 표현될 수 있음을 증명하며, 경험적 추정기의 점근적 정규성과 일致성을 확립하고, S&P 500 데이터를 활용해 다양한 경제 제도에서의 상대적 행동을 분석한다.

ABSTRACT

We present a general framework for a comparative theory of variability measures, with a particular focus on the recently introduced one-parameter families of inter-Expected Shortfall differences and inter-expectile differences, that are explored in detail and compared with the widely known and applied inter-quantile differences. From the mathematical point of view, our main result is a characterization of symmetric and comonotonic variability measures as mixtures of inter-Expected Shortfall differences, under a few additional technical conditions. Further, we study the stochastic orders induced by the pointwise comparison of inter-Expected Shortfall and inter-expectile differences, and discuss their relationship with the dilation order. From the statistical point of view, we establish asymptotic consistency and normality of the natural estimators and provide a rule of the thumb for cross-comparisons. Finally, we study the empirical behaviour of the considered classes of variability measures on the S&P 500 Index under various economic regimes, and explore the comparability of different time series according to the introduced stochastic orders.

연구 동기 및 목표

• 매개변수적 위험 측도에 의해 유도된 변동성 측도의 일반적인 비교 이론을 개발하며, 기대손실, 기대값, VaR에 중점을 둔다.
• 기술적 조건 하에서 대칭적이고 동조적인 변동성 측도가 상호 기대손실 차이의 혼합으로 표현될 수 있음을 특성화한다.
• 상호 기대손실 차이와 상호 기대값 차이의 점별 비교에 의해 유도되는 확률적 순서를 연구하며, 이를 확산 순서와 연관시킨다.
• 세 가지 변동성 측도에 대한 경험적 추정기의 점근적 정규성과 일치성을 확립한다.
• S&P 500 지수의 경험적 데이터를 활용해 다양한 경제 제도에서 이러한 측도의 행동을 비교한다.

제안 방법

• 위험 측도에 의해 유도된 변동성 측도의 일반적 정의를 제안하며, 상호 분위수 차이에서의 볼록성 부족으로 인해 이는 산란 측도와 구별됨을 밝힌다.
• 수학적 특성화를 통해 정규성 조건 하에서 대칭적이고 동조적인 변동성 측도가 상호 기대손실 차이의 혼합임을 보여준다.
• 확률적 순서 이론을 적용하여 점별 비교를 통해 상호 기대손실 차이와 상호 기대값 차이를 비교하고, 이를 확산 순서와 연결한다.
• 점근적 분포 이론을 활용: 상호 분위수 차이의 경우 브라운 운동 다리 이론을 사용해 정규 분포 수렴을 도출하고, 상호 기대손실 및 상호 기대값 차이의 경우 브라운 운동 경로에 대한 적분을 사용한다.
• Shorack과 Wellner(2009) 및 Krätschmer와 Zähle(2017)의 결과를 활용해 경험적 추정기의 명시적 점근적 분산을 유도하며, σ²_Q, σ²_ES, σ²_ex에 대한 명시적 공식을 제공한다.
• S&P 500 로그 수익률에 대한 경험적 분석을 수행하여 경제 제도 간 변동성 측도를 비교하고, 2020년 페이스북과 버크셔 해서웨이 수익률 간의 확률적 순서를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기대손실, 기대값, VaR에 의해 유도된 변동성 측도는 어떻게 체계적으로 비교하고 통합적 이론 프레임워크 하에 통합될 수 있는가?
• RQ2 대칭적이고 동조적인 변동성 측도의 수학적 구조는 무엇이며, 상호 기대손실 차이의 혼합으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 상호 기대손실 차이와 상호 기대값 차이에 의해 유도되는 확률적 순서는 확산 순서와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이러한 변동성 측도에 대한 경험적 추정기의 점근적 성질(일치성 및 정규성)은 무엇인가?
• RQ5 이러한 변동성 측도는 다양한 경제 제도에서 어떻게 행동하는가? 그리고 도입된 확률적 순서 하에서 시간적 시리즈는 얼마나 유사한가?

주요 결과

• 약한 기술적 조건 하에서 대칭적이고 동조적인 변동성 측도는 상호 기대손실 차이의 혼합으로 특성화될 수 있으며, 이는 근본적인 구조적 통찰을 제공한다.
• 상호 분위수, 상호 기대손실, 상호 기대값 차이에 대한 경험적 추정기는 점근적으로 정규 분포를 따르며, 각각에 대한 명시적 점근적 분산이 유도되었다.
• 상호 분위수 차이의 경우 점근적 분산은 σ²_Q = p(1−p)/g²(p) + p(1−p)/g²(1−p) − 2(1−p)²/(g(p)g(1−p))로, 브라운 운동 다리 이론에서 유도된다.
• 상호 기대손실 차이의 경우 점근적 분산 σ²_ES는 브라운 운동의 공분산 구조를 포함하는 이중 적분으로 주어진다: σ²_ES = (1/(1−p)²) × [∫∫_{[p,1]² ∪ [0,1−p]²} − 2∫∫_{[p,1]×[0,1−p]}] (s∧t − st)/(g(s)g(t)) dtds.
• 상호 기대값 차이의 경우 점근적 분산은 밀도 함수 f^ex_r,F(t)의 적분과 공분산 항 c^ex_p의 조합을 포함하며, 기대값 추정기의 점근적 정규성에서 유도된다.
• S&P 500 로그 수익률에 대한 경험적 분석은 호황, 하락, 위기 제도 간에 뚜렷한 변동성 패tern을 보이며, 상호 기대손실 차이는 꼬리 리스크에 더 민감한 것으로 나타났다.