[논문 리뷰] Partial actions and automata

Mikhailo Dokuchaev, Boris Novikov외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 05.

semigroups and automata theory참고 문헌 2인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 자유 모노이드 Σ∗의 부분 작용을 사용하여 유한 오ート마타의 일반화로 preautomata를 도입한다. 이는 정규 언어를 초월한 언어의 인식을 가능하게 하며, preautomata에 의해 인식되는 언어가 접두어 코드와 스타-폐쇄 집합의 서로소 합집합으로 분해된다는 것을 증명한다. 이는 아이レン버그 정리의 일반화이며, 클리니의 정리가 성립하지 않음을 보여주며, preautomata는 유한 오ート마타보다 더 넓은 언어 클래스를 인식함을 입증한다.

ABSTRACT

We use the notion of a partial action of a monoid to introduce a generalization of automata, which we call "a preautomaton". We study properties of preautomata and of languages recognized by preautomata.

연구 동기 및 목표

• 자유 모노이드 Σ∗의 부분 작용을 사용하여 유한 오ート마타를 일반화하는 preautomata를 도입하는 것.
• preautomata의 성질과 그것이 인식하는 언어의 성질을 고전적 오ート마타 이론과의 관계에서 연구하는 것.
• 클리니의 정리나 마일–너로의 정리와 같은 고전적 결과들이 preautomata로까지 확장되는지 조사하는 것.
• preautomata의 표현 능력이 유한 오ート마타, 스택 오르간화 오르간타, 튜링 기계와 비교되는 것.
• preautomata와 접두어 코드 사이의 관계를 명확히 하고, 그것이 인식하는 언어의 특성을 규명하는 것.

제안 방법

• 부분 작용을 정의한다. X × M ⇢ X 형태의 부분 사상으로, 결합법칙과 항등원 조건을 만족시키며, 전체 군/모노이드 작용을 일반화한다.
• preautomata를 (Σ, X, δ*)의 삼중조합으로 정의한다. 여기서 δ* : X × Σ* ⇢ X 는 부분 사상이며, 부분 결합법칙과 항등원 공리를 만족한다.
• X × Σ* 상의 동치관계 ≈ 를 사용하여 preautomaton의 전역화(globalization)를 구성한다. (x,a) ≈ (y,b) 라 함은 ∃a',b',p 를 만족하며 a=a'p, b=b'p, 그리고 xa'=yb'≠∅ 인 경우이다.
• 접두어 분해에 관한 아이렌버그 정리를 사용하여 preautomata에 의해 인식되는 언어의 구조를 일반화한다.
• 오른쪽 문법적 동치관계를 통한 마일–너로 정리를 적용하여 언어의 인식 가능성과 비인식 가능성 분석을 수행한다.
• 클리니의 정리가 preautomata에 대해 성립하지 않음을 보이기 위해 반례를 구성한다. {aⁿbⁿ} 및 {aⁿbⁿcⁿ} 과 같은 언어는 정규 언어나 문맥 자유 언어가 아니지만 preautomata에 의해 인식된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 모노이드 Σ∗의 부분 작용을 사용하여 오ート마타 개념을 일반화할 수 있으며, 이러한 일반화된 기계(preautomata)는 어떤 성질을 갖는가?
• RQ2 오르간타 이론의 고전적 결과들—예를 들어 접두어 분해에 관한 아이렌버그 정리와 정규 언어에 관한 클리니의 정리—가 preautomata로까지 확장되는 정도는 어느 정도인가?
• RQ3 preautomata가 인식하는 언어의 클래스와 다른 고전적 언어 클래스(예: 정규, 문맥 자유, 재귀적으로 추정 가능한) 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ4 유한 오르간타, 스택 오르간타, 심지어 튜링 기계로도 인식할 수 없는 언어 중 preautomata에 의해 인식되는 언어가 존재하는가?
• RQ5 접두어 코드와 그 스타-폐쇄를 사용하여 preautomata에 의해 인식되는 언어의 구조를 완전히 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• preautomata에 의해 인식되는 언어는 접두어 코드 Hᵢ와 Cᵢ*의 서로소 합집합 ⨆ᵢ HᵢCᵢ* 형태로 분해되며, 이는 아이렌버그 정리를 일반화한다.
• 클리니의 정리는 preautomata에 대해 성립하지 않는다: {aⁿbⁿ} 및 {aⁿbⁿcⁿ} 과 같은 비정규 언어를 인식하는 preautomata가 존재한다. 이들은 문맥 자유 언어가 아니다.
• 유한 preautomata(FPA)의 클래스는 유한 오르간타(FA)의 클래스를 엄격히 포함한다. 어떤 유한 오르간타로도 인식할 수 없는 언어를 인식하는 preautomaton이 존재함을 통해 이를 입증한다.
• 유한 preautomata의 클래스는 스택 오르간타(FSA)를 포함하지 않는다. {aⁿbⁿcⁿ} 언어는 문맥 자유 언어가 아니지만 preautomaton에 의해 인식되기 때문이다.
• 유한 preautomata의 클래스는 합집합, 곱셈, 반복에 대해 닫혀 있지 않다. 이는 문법적 동치관계가 비가산 많은 동치류를 가질 수 있음을 보여주는 반례를 통해 입증된다.
• {aⁿ²} 언어는 어떤 유한 오르간타나 preautomaton으로도 인식될 수 없으며, 이는 FPA가 모든 재귀적으로 추정 가능한 언어를 인식하는 데에는 충분하지 않음을 시사한다.