[논문 리뷰] Partial data inverse problems for quasilinear conductivity equations

Yavar Kian, Katya Krupchyk외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 21.

Numerical methods in inverse problems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ n \geq 2 $ 차원에서 타원형 미분방정식에 대한 부분 데이터 역문제에서 비선형성과 준선형성을 가진 도전도 계수의 유일한 복원을 확립한다. 경계의 부분집합에서 0이 되는 조화 함수의 기울기 곱의 $ L^1 $-밀도 결과를 새로운 방식으로 활용하여, 저자들은 경계의 임의의 열린 부분에서의 딜리클레-노이만 맵이 도전도 계수를 유일하게 결정함을 증명한다. 이는 데이터가 불완전하고 도전도 계수가 해와 그 기울기에 모두 의존하는 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

We show that the knowledge of the Dirichlet-to-Neumann maps given on an arbitrary open non-empty portion of the boundary of a smooth domain in $\mathbb{R}^n$, $n\ge 2$, for classes of semilinear and quasilinear conductivity equations, determines the nonlinear conductivities uniquely. The main ingredient in the proof is a certain $L^1$-density result involving sums of products of gradients of harmonic functions which vanish on a closed proper subset of the boundary.

연구 동기 및 목표

• 부분 경계 측정치로부터 준선형 및 준선형 도전도 계수를 복원하는 역문제를 다루는 것.
• 기존의 도전도 역문제 결과를 완전한 데이터가 아닌 비선형, 준선형 방정식으로 확장하는 것.
• 경계의 임의의 열린 부분집합에서의 부분 딜리클레-노이만 맵으로부터 도전도 계수 $ \gamma(x,u,\omega\cdot\nabla u) $ 의 유일성을 확립하는 것.
• 경계의 적절한 닫힌 부분집합에서 0이 되는 조화 함수 기울기 곱의 합에 대한 새로운 분석 도구—$ L^1 $-밀도를 개발하는 것.

제안 방법

• 소규모 딜리클레 데이터를 가진 준선형 방정식의 해의 존재성과 해와 그 기울기에 대한 해석적 의존성에 대해 복소 범주에서의 은직함수정리(implicit function theorem)를 적용한다.
• 상수 경계 값에서 딜리클레-노이만 맵의 1차 선형화를 통해 비선형 문제를 선형 역문제로 환원한다.
• 경계의 닫힌 적절한 부분집합에서 0이 되는 조화 함수 기울기 곱의 합에 대한 새로운 $ L^1 $-밀도 결과를 적용한다.
• 도전도 계수 $ \gamma $ 가 해와 그 기울기에 대해 해석적 의존성을 가지며, $ \gamma(x,\tau,0) = 1 $ 과 $ \gamma(x,0) = 1 $ 를 만족함으로써 문제의 잘 정의됨을 보장한다.
• 경계 데이터에 대해 딜리클레-노이만 맵이 해석적임을 이용하여 해석적 계속화 방법을 적용한다.
• 선형화 이후 선형 역문제 이론 결과(예: [41], [32])를 적용하여 기저 도전도 계수를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계의 임의의 열린 부분집합에서의 부분 딜리클레-노이만 맵으로부터 준선형 도전도 $ \gamma(x,u,\omega\cdot\nabla u) $ 가 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 완전한 해석성 가정 없이도 부분 데이터에서 준선형 도전도 $ \gamma(x,u) $ 에 대해 유일성 결과가 성립하는가?
• RQ3 해와 그 기울기에 모두 의존하는 비선형 도전도 계수를 불완전한 경계 측정치로부터 복원하는 일반적인 방법이 존재하는가?
• RQ4 경계의 적절한 부분집합에서 0이 되는 조화 함수 기울기 곱의 $ L^1 $-밀도가 역문제에서의 유일성 증명에 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 경계의 임의의 비어 있지 않은 열린 부분집합 $ \Gamma \subset \partial\Omega $ 에서도 부분 딜리클레-노이만 맵 $ \Lambda_{\gamma}^{\Gamma} $ 이 $ \overline{\Omega} \times \mathbb{C} \times \mathbb{C} $ 에서 준선형 도전도 $ \gamma(x,u,\omega\cdot\nabla u) $ 를 유일하게 결정함을 보였다.
• 준선형 도전도 $ \gamma(x,u) $ 에 대해서는 부분 딜리클레-노이만 맵 $ \Lambda_{\gamma}^{\Gamma} $ 가 $ \overline{\Omega} \times \mathbb{C} $ 에서 $ \gamma $ 를 유일하게 결정하며, 이는 이전의 완전한 데이터 결과를 부분 데이터로 확장한 것이다.
• 증명 과정에서 경계의 닫힌 적절한 부분집합에서 0이 되는 조화 함수 기울기 곱의 합에 대한 새로운 $ L^1 $-밀도 결과를 도입하였으며, 이는 유일성 증명에 핵심적인 역할을 한다.
• 작은 딜리클레 데이터에 대해 $ C^{2,\alpha} $ 공간에서 준선형 방정식의 해의 존재성과 해석적 의존성을 확립하였으며, 이는 딜리클레-노이만 맵의 타당성을 보장한다.
• 완전한 데이터의 경우에도, $ x, u, \nabla u $ 에 따라 변하는 준선형 도전도 계수에 대해 이 결과는 새로운 것으로, 비선형 역문제 분야의 문헌에서 빈자리인 부분을 메운다.
• 이 방법은 $ n \geq 2 $ 에 모두 적용되며, 최소한의 정규성 조건 하에서도 성립한다: 경계는 $ C^{\infty} $, 도전도 계수는 $ C^{1,\alpha} $ 이다.