[논문 리뷰] Partial Resolutions of Orbifold Singularities via Moduli Spaces of HYM-type Bundles

Sardo Infirri, Alexander|arXiv (Cornell University)|1996. 10. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{C}^2$에서 인stanton의 모듈리 공간을 $\mathbb{C}^n$으로 일반화하며, $\mathbb{C}^n$에서 선형적으로 작용하는 유한군 $\Gamma$에 대해, $\Gamma$-등변 허미션 양-밀스 유형의 복소선형 접속을 갖는 복소선형 복소다발의 모듈리 공간 $X_\zeta$는 궤도 특이점 $\mathbb{C}^n/\Gamma$의 부분 해소를 제공한다. $\zeta = 0$일 때 $X_0 \cong \mathbb{C}^n/\Gamma$이며, $\zeta \neq 0$일 때 $X_\zeta \to X_0$는 ALE 켈러 계량을 갖는 부분 해소를 제공하며, 일반적인 $\zeta$에 대해 캐프런트 해소 성질을 갖는 것으로 추측된다. 주요 기여는 $\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$인 경우에 대해, 명시적인 특이점과 해석적 3형식을 갖는 게이지 이론적 모듈리 공간을 통한 해소의 기하학적 구성이다.

ABSTRACT

Let $\Gamma$ be a finite group acting linearly on $\C^n$, freely outside the origin, and let $N$ be the number of conjugacy classes of $\Gamma$ minus one. A construction of Kronheimer of moduli spaces $X_\zeta$ of translation-invariant $\Gamma$-equivariant instantons on $\C^2$ is generalised to $\C^n$. The moduli spaces $X_\zeta$ depend on a parameter $\zeta\in\Q^N$. The following results are proved: for $\zeta=0$, $X_0$ is isomorphic to $\C^n/\Gamma$; if $\zeta eq 0$, the natural maps $X_\zeta o X_0$ are partial resolutions. The moduli $X_\zeta$ are furthermore shown to admit K\ahler metrics which are Asymptotically Locally Euclidean (ALE). A description of the singularities of $X_\zeta$ using deformation complexes is given, and is applied in particular to the case $\Gamma\subset\SU(3)$. It is conjectured that for general $\Gamma$ and generic $\zeta$ that the singularities of $X_\zeta$ are at most quadratic. When $\Gamma\subset\SU(3)$ a natural holomorphic 3-form is constructed on the smooth locus of $X_\zeta$, which is conjectured to be non-vanishing. The morphims $X_\zeta o X_0$ are expected to be crepant resolutions and $X_\zeta$ to be smooth for generic choices of the parameter $\zeta$. Related open problems in higher-dimensional complex geometry are also mentioned. The paper has a companion paper which identifies the moduli $X_\zeta$ with representation moduli of McKay quivers, and describes them completely in the case of abelian groups.

연구 동기 및 목표

• 유한군의 작용이 있는 $\mathbb{C}^n/\Gamma$의 고차원 궤도 특이점에 대해, $\mathbb{C}^2$에서의 인스턴트론 모듈리 공간 구축을 Kronheimer의 방법으로 일반화한다.
• 모듈리 공간 $X_\zeta$의 기하학을 $\mathbb{C}^n/\Gamma$의 특이점에 대한 부분 해소로 연구하며, $\zeta \in \mathbb{Q}^N$에 의해 매개변수화된다.
• $\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$인 경우에 대해, 변형 복합체를 사용하여 $X_\zeta$의 특이점의 성격을 분석하고, 특히 그 성격을 조사한다.
• $\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$인 경우, $X_\zeta$의 매끄러운 부분에 자연스러운 해석적 3형식을 구성하고, 그 비영성에 대해 추측한다.

제안 방법

• $\mathbb{C}^2$에서의 $\Gamma$-등변 인스턴트론 모듈리 공간의 구축을 $\mathbb{C}^n$으로 일반화하며, 이는 이동 불변인 $\Gamma$-등변 허미션 양-밀스 유형의 복소선형 복소다발을 사용한다.
• $\zeta \in \mathbb{Q}^N$로 모듈리 공간 $X_\zeta$를 매개변수화하며, $N$은 $\Gamma$의 공轭류 수에서 1을 뺀 수이다.
• 자연스러운 사상 $X_\zeta \to X_0$가 부분 해소임을 보이며, $X_0 \cong \mathbb{C}^n/\Gamma$임을 보인다.
• 모듈리 공간 $X_\zeta$가 비국소적으로 유클리드적인 (ALE) 켈러 계량을 갖는다는 것을 증명한다.
• 변형 복합체를 사용하여 $X_\zeta$의 특이점의 성격을 묘사하며, 특히 $\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$인 경우에 초점을 맞춘다.
• $\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$인 경우, $X_\zeta$의 매끄러운 부분에 해석적 3형식을 구성하고, 그 비영성에 대해 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kronheimer의 $\mathbb{C}^2$에서의 인스턴트론 모듈리 공간 구축을 유한군 작용이 있는 $\mathbb{C}^n$으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $\zeta \neq 0$일 때, 모듈리 공간 $X_\zeta$가 $\mathbb{C}^n/\Gamma$의 부분 해소로서 기하학적으로 어떻게 구성되는가?
• RQ3 일반적인 $\zeta$에 대해, $\Gamma$가 임의일 경우 $X_\zeta$의 특이점은 최대한의 이차 특이점만 갖는가?
• RQ4 $\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$인 경우, $X_\zeta$의 매끄러운 부분에 자연스러운 해석적 3형식이 존재하는가, 그리고 그 형식은 비영인가?
• RQ5 $X_\zeta \to X_0$의 사상은 캐프런트 해소인가, 그리고 일반적인 $\zeta$에 대해 $X_\zeta$는 매끄러운가?

주요 결과

• $\zeta = 0$일 때, 모듈리 공간 $X_0$는 궤도 공간 $\mathbb{C}^n/\Gamma$와 위상동형이며, 특이점의 자연스러운 컴acts화를 제공한다.
• $\zeta \neq 0$일 때, 사상 $X_\zeta \to X_0$는 부분 해소이며, $X_\zeta$는 비국소적으로 유클리드적인 (ALE) 켈러 계량을 갖는다.
• $X_\zeta$의 특이점은 변형 복합체를 사용하여 묘사되며, $\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$인 경우 일반적인 $\zeta$에 대해 특이점은 최대한의 이차 특이점일 것으로 예상된다.
• $\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$인 경우, $X_\zeta$의 매끄러운 부분에 자연스러운 해석적 3형식이 구성되며, 그 비영성에 대해 추측된다.
• $X_\zeta \to X_0$의 사상은 캐프런트 해소일 것으로 예상되며, 일반적인 $\zeta$에 대해 $X_\zeta$는 매끄러울 것으로 추측된다. 이는 게이지 이론적 모듈리 공간을 통한 캐프런트 해소의 기하학적 실현을 시사한다.