[논문 리뷰] Partial sums of the M{ö}bius function

K. Soundararajan|ArXiv.org|2007. 05. 05.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 7인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 리만 가설 하에서 모비우스 함수 $ M(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n) $의 부분합에 대한 기존 상한을 향상시킨다. 제타 함수의 영점의 순서수의 군집 빈도를 분석하고 페론의 공식의 개선된 버전을 적용하여, $ M(x) \ll \sqrt{x} \exp\left( (\log x)^{1/2} (\log\log x)^{14} \right) $ 를 확립한다. 이는 이전 결과를 크게 향상시키며, 모비우스 함수의 진동 행동에 대한 이해를 심화시킨다.

ABSTRACT

Assuming the Riemann Hypothesis we establish an upper bound for the sum of the M{\" o}bius function up to $x$. Our method is based on estimating the frequency with which intervals of a given length can contain an unusual number of ordinates of zeros of the Riemann zeta-function.

연구 동기 및 목표

• 리만 가설을 전제로 할 때, 모비우스 함수의 부분합 $ M(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n) $ 에 대한 기존 상한을 향상시키는 것.
• 비자명한 제타 함수 영점의 순서수의 군집 빈도를 분석하여, $ M(x) $ 를 유한하게 제한하는 핵심 기술적 도구로 활용하는 것.
• 영점 간격 빈도 결과와 향상된 페론의 공식, 지수합 추정치를 결합하여 $ M(x) $ 에 대한 새로운이고 더 날카로운 추정치를 확립하는 것.

제안 방법

• 짧은 간격 내에서 영점 수의 기대 밀도에서의 이탈을 측정하는 $ S(t+h) - S(t-h) $ 의 큰 값의 빈도를 분석하는 새로운 방법을 도입한다.
• 영점 분포, 소수 합의 행동, 로그 제약 조건을 기반으로 $ V $-형식적인 점 $ t \in [T, 2T] $ 를 정의하여 $ \zeta(\sigma + it) $ 의 크기를 제어한다.
• $ V $-형식성에 기반한 수직 및 수평 세그먼트를 포함하는 변형된 커프를 사용하여, 비판선을 피하는 수정된 페론의 공식을 적용한다.
• 소수와 제타 함수 영점 간의 명시적 공식과 대체로 큰 걸림돌 부등식을 사용하여 $ \Lambda(n) $ 과 $ \mu(n) $ 에 대한 지수합을 제어한다.
• 최근 리틀우드의 상한 개선과 함께 $ S(t) $ 의 가우시안 유사 분포를 활용하여, $ V $ 에 대해 지수 감소하는 방식으로 $ V $-이상적인 점의 수를 제한한다.
• 수직 및 수평 세그먼트의 적분 추정치를 결합하고, $ V $ 에 대한 적절한 이분 해석과 최적화를 통해 $ M(x) $ 에 대한 최종 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현재 영점 분포에 대한 지식을 바탕으로, 리만 가설 하에서 $ M(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n) $ 의 최선의 가능한 상한은 무엇인가?
• RQ2 비자명한 제타 함수 영점의 순서수는 짧은 간격에서 얼마나 자주 군집할 수 있으며, 이는 비판선에서 $ \zeta(s) $ 의 크기에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 $ V $-형식적인 점의 방법을 사용하여 $ \sigma > 1/2 $ 에서 $ \zeta(\sigma + it) $ 의 크기를 균일하게 제어하고, 이를 통해 $ M(x) $ 를 유한하게 제한할 수 있는가?
• RQ4 영점 수 계산 함수 $ N(t+h) - N(t-h) $ 의 오차 항은 어느 정도 제어될 수 있으며, 이는 $ M(x) $ 의 상한 향상에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 리만 가설 하에서, 모비우스 함수의 부분합은 $ M(x) \ll \sqrt{x} \exp\left( (\log x)^{1/2} (\log\log x)^{14} \right) $ 를 만족하며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• $ V \geq (\log\log T)^2 $ 인 $ V $-이상적인 점 $ t \in [T, 2T] $ 의 수는 $ R \ll T \exp\left( -V \log\left( \frac{V}{\log\log T} \right) + 4V \log\log V \right) $ 로 제한되며, 이는 영점 군집 빈도를 정량화한다.
• $ V $-형식적인 $ t \in [T, 2T] $ 에서, 제타 함수 로그의 크기는 $ \sigma \geq \sigma_0 = \frac{1}{2} + \frac{V}{\log T} $ 에서 $ \log|\zeta(\sigma + it)| \geq -V \log\log V $ 를 만족하여 $ |\zeta(s)| $ 에 대한 균일한 제어를 제공한다.
• $ M(x) $ 에 대한 상한은 비판선을 피하는 커프를 사용한 $ x^s / (s \zeta(s)) $ 의 적분을 통해 도출되며, 커프의 세그먼트는 $ V $-형식성에 기반하여 오차를 최소화하도록 선택된다.
• 이 방법은 $ V $-이상적인 점의 수가 추측된 가우시안 유사 상한을 만족할 경우, $ M(x) \ll \sqrt{x} \exp(C (\log\log x)^3) $ 로의 추가 향상이 가능하다는 것을 보여준다.
• 이 결과는 $ M(x) $ 의 진정한 주기 크기의 순서를 이해하는 데 있어 중요한 단계를 대비하며, 이는 $ \sqrt{x} (\log\log\log x)^{5/4} $ 라는 추측과 일치한다.