[논문 리뷰] Partialization of categories and inverse braid-permutation monoid

Ganna Kudryavtseva, Volodymyr Mazorchuk|arXiv (Cornell University)|2006. 10. 24.

semigroups and automata theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단순한 범주에서 단사 사상에 대한 피보팅을 보장하는 조건을 만족하는 범주에 대해 부분화 유도자(functor)를 도입하여, 체계적으로 역 모노이드를 생성하는 범주론적 구성법을 제시한다. 이 유도자를 사용하여 새로운 역 브레이드-순열 모노이드를 정의하고, 그에 대한 표현을 제공하며, 반복 적용을 통해 순서를 유지하는 사상의 모노이드를 범주화하고, 대칭 역 모노이드의 오르소도그 모노이드 일반화를 도출한다.

ABSTRACT

We show how the categorial approach to inverse monoids can be described as a certain endofunctor (which we call the partialization functor) of some category. In this paper we show that this functor can be used to obtain several recently defined inverse monoids, and use it to define a new object, which we call the inverse braid-permutation monoid. A presentation for this monoid is obtained. Finally, we study some abstract properties of the partialization functor and its iterations. This leads to a categorification of a monoid of all order preserving maps, and series of orthodox generalizations of the symmetric inverse semigroup.

연구 동기 및 목표

• 부분화 과정을 유도자로서 체계적으로 적용하여 범주론적 자료로부터 역 모노이드를 형식화하는 것.
• 역 브레이드 모노이드의 일반화로서 새로운 역 모노이드인 역 브레이드-순열 모노이드를 정의하고 분석하는 것.
• 부분화 유도자의 반복 적용과 오르소도그 및 정규 세미군의 관계를 연구하는 것.
• 끝점을 고정하는 체인 위의 순서 유지 사상 모노이드를 범주화하는 것.
• 부분화 유도자의 반복 적용을 통해 대칭 역 모노이드를 일반화하는 것.

제안 방법

• 조건 1을 만족하는 소형 범주에 대해 부분화 유도자 𝒫를 정의하여 단사 사상에 대한 피보팅이 존재함을 보장한다.
• 피보팅을 통해 사상들을 부분 사상으로 확장하여, 더 풍부한 사상 집합을 갖는 새로운 범주를 구성함으로써 범주의 부분화를 수행한다.
• 구멍이 있는 평면의 범주에 부분화 유도자를 적용하여, 종결 사상 모노이드로서 역 브레이드 모노이드를 회복한다.
• 브레이드-순열 군의 운동 범주로 구성의 일반화를 통해 역 브레이드-순열 모노이드 𝒊𝑩𝑷𝒏을 정의한다.
• 브레이드와 순열 관계를 기반으로 한 생성자와 관계를 사용하여 𝒊𝑩𝑷𝒏에 대한 유한한 표현을 유도한다.
• 부분화 유도자의 반복 적용을 연구하며, 𝒫ⁿ과 준반복 간의 표준 자연 변환과 정규 및 오르소도그 세미군과의 연결 고리를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분화 유도자는 범주론적 자료로부터 역 모노이드를 체계적으로 생성하기 위해 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ2 역 브레이드-순열 모노이드는 역 브레이드 모노이드의 일반화로서 어떤 구조와 표현을 갖는가?
• RQ3 부분화 유도자의 반복 적용은 오르소도그 및 정규 세미군과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 부분화 유도자는 어떤 방식으로 체인 위의 순서 유지 사상 모노이드를 범주화하는가?
• RQ5 역 브레이드-순열 모노이드의 그린 관계와 등급원의 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 역 브레이드-순열 모노이드 𝒊𝑩𝑷𝒏은 ℝ³ 내에서 끊어지지 않고 연결되지 않은 방향성을 가진 n개의 곡선으로 이루어진 범주의 부분화의 종결 사상 모노이드로 정의된다.
• 브레이드와 순열 관계에 해당하는 생성자와 부분성의 조건을 포함하는 관계를 기반으로 유한한 표현을 확보한다.
• 모노이드 𝒊𝑩𝑷𝒏은 인수분해 가능하며, E(𝒊𝑩𝑷𝒏) = (k+1)^n 이고, 그 등급원들은 {1,…,n}의 부분집합의 플래그로 매개화된다.
• 𝒊𝑩𝑷𝒏의 원소에 대한 그린의 ℒ-류는 플래그 (A₁,…,Aₖ)에 의해 결정되며, ℛ-류는 사상 f의 상에 의해 결정된다.
• 부분화 유도자 𝒫ⁿ은 적절한 범주에서 자기 유도자(endofunctor)로 나타나며, 그 반복은 표준 자연 변환을 통해 연결된다.
• 유한 집합의 범주에 𝒫ⁿ을 적용하면, 끝점을 고정하는 체인 위의 순서 유지 사상 모노이드의 범주화가 도출된다.