[논문 리뷰] Pathwise Taylor Expansions for Random Fields on Multiple Dimensional Paths

Rainer Buckdahn, Jin Ma외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 두피르의 기능적 이토 미적분학에 영감을 받은 새로운 길행미분 프레임워크를 사용하여 다차원 브라운 운동에 의해 구동되는 랜덤 필드에 대한 경로별 테일러 전개를 수립한다. 이는 이전 결과를 임의의 차원으로 확장하고, 앞으로와 뒤로의 시간 증분을 모두 허용하며, 거의 확실히 성립하는 경로별 나머지 추정을 제공하여, 앞으로의 경로에 의존하는 SPDE에 대한 새로운 점성해법 이론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we establish the pathwise Taylor expansions for random fields that are "regular" in the spirit of Dupire's path-derivatives \cite{Dupire}. Our result is motivated by but extends the recent result of Buckdahn-Bulla-Ma \cite{BBM}, when translated into the language of pathwise calculus. We show that with such a language the pathwise Taylor expansion can be naturally carried out to any order and for any dimension, and it coincides with the existing results when reduced to these special settings. More importantly, the expansion can be both "forward" and "backward" (i.e., the temporal increments can be both positive and negative), and the remainder is estimated in a pathwise manner. This result will be the main building block for our new notion of viscosity solution to forward path-dependent PDEs corresponding to (forward) stochastic PDEs in our accompanying paper \cite{BMZ}.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 필드에 대한 경로별 테일러 전개를 다차원 경로와 일반적인 공간 차원으로 확장하기.
• 이토 유형의 랜덤 필드 분석을 단순화하고 확률 미적분학의 직관적 해석을 가능하게 하는 길행미분 프레임워크 개발하기.
• 이전 연구에서 한정되어 있던 1차원 브라운 운동에 국한된 바에 비해, 앞으로와 뒤로의 시간 증분 모두에 대해 유효한 전개 수립하기.
• 이전 문헌에서 평균 제곱 추정에 의존하는 것과 달리, 거의 확실히 성립하는 경로별 나머지 추정 제공하기.
• 앞서 제시된 논문에서 적용된 바와 같이, 앞으로의 경로에 의존하는 SPDE에 대한 새로운 점성해법의 개념을 마련하기.

제안 방법

• 두피르의 기능적 이토 미적분학의 정신을 담아, 브라운 운동의 경로 공간에 적용 가능한 새로운 길행미분 개념 도입하기.
• 시간과 경로 미분에 대한 체인 룰로서 경로별 이토-베르누이츠 공식을 사용하여 확률 미적분학 표현을 단순화하기.
• 테일러 전개의 계수를 길행미분을 사용하여 정의: ∂ₜu, ∂ᵤu, ∂ᵤᵤu, ∂ₓu, ∂ₓᵤu, ∂ₓₓu.
• SPDE의 해에 대해 기능적 이토 공식을 적용하여, f, g 및 그 도함수의 표현으로 계수의 명시적 표현 유도하기.
• 코모고로프 유형의 연속성 기준을 통해 경로별 나머지 추정을 수립하여, 거의 모든 ω에 대해 (t,x)에서 국소적으로 균일한 성질 확보하기.
• 나머지 Rα,m 이 모든 p > 1 에 대해 Lᵖ 에서 균일 유계임을 증명하여 전개의 적분 가능성과 강건성을 확보하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로별 테일러 전개는 다차원 브라운 운동에 의해 구동되는 랜덤 필드로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 기대값이나 확률에 의존하는 것이 아니라, 거의 확실히 성립하는 경로별 나머지 추정은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 길행미분은 고차원에서 확률적 테일러 전개의 구조를 단순화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 경로적으로 일관되게 앞으로와 뒤로의 시간 증분 모두에 대해 전개를 정의할 수 있는가?
• RQ5 전개의 계수는 SPDE의 계수 f와 g의 도함수와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 경로별 테일러 전개는 브라운 운동의 차원에 관계없이 성립하며, 이전 연구에서 1차원 브라운 운동에 국한된 결과를 확장한다.
• 전개는 앞으로와 뒤로의 시간 증분 모두에 대해 유효하며, 계수는 거의 확실히 경로적으로 정의된다.
• 나머지 항 Rα,m 은 모든 p > 1 에 대해 초노름 적분 가능성(Lᵖ)을 만족하여 강력한 경로별 제어를 보장한다.
• 전개의 계수 (a,b,c,p,q,X) 는 길행미분을 통해 명시적으로 주어진다: a = ∂ₜu, b = ∂ᵤu, c = ∂ᵤᵤu, p = ∂ₓu, q = ∂ₓᵤu, X = ∂ₓₓu.
• 1차원 설정이나 결정론적 경우에 제한할 경우, 전개는 고전적 결과와 일치한다.
• 경로별 이토-베르누이츠 공식은 시간과 경로 변수에 대한 체인 룰로서 확률 미적분학을 깔끔하고 직관적으로 해석할 수 있게 한다.