[논문 리뷰] Pathwise Viscosity Solutions of Stochastic PDEs and Forward Path-Dependent PDEs --- A Rough Path View

Rainer Buckdahn, Christian Keller외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 33인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 완전 비선형 확률 편미분방정식(SPDEs)과 전방 경로에 의존하는 편미분방정식(PPDEs)의 점성해를 일관된 프레임워크로 다루기 위해 이들을 난류 편미분방정식(RPDEs)으로 간주함으로써 통합적 이론을 제시한다. 시험 함수 정의와 준역상 정의 간의 동치성을 입증하고, 일致성, 안정성, 부분 비교 원리 등을 증명하며, 특성 변환을 통한 표준 편미분방정식으로의 변환을 통해 반선형 확산 사례에 대해 완전한 이론을 구축한다.

ABSTRACT

In this paper we study viscosity solutions for a fairly large class of fully nonlinear (forward) stochastic partial differential equations (SPDEs). These SPDEs can also be viewed as forward path dependent PDEs (PPDEs), and will be treated under a unified framework, as rough partial differential equations (RPDEs). Our definition of viscosity solution gathers the spirit of existing ones using test functions along the stochastic characteristics, determined by a system of first order RDEs. We show that such a definition is equivalent to the alternative one using semi-jets, and prove the basic properties such as consistency, stability, and partial comparison principle for general fully nonlinear SPDEs/PPDEs/RPDEs under natural conditions. Furthermore, when the diffusion coefficient is semi-linear, we shall establish a fairly complete theory, including (global) existence and comparison principle, by transforming the RPDE into a standard PDE via characteristics.

연구 동기 및 목표

• 완전 비선형 전방 확률 편미분방정식(SPDEs)과 경로에 의존하는 편미분방정식(PPDEs)의 광범위한 클래스에 대해 일관된 점성해 이론을 개발하는 것.
• SPDEs와 PPDEs를 난류 편미분방정식(RPDEs) 프레임워크 아래 통합적으로 다루어 공통적인 분석적 접근을 가능하게 하는 것.
• 기존의 두 정의—스토크스 특성 沿한 시험 함수를 통한 점성해 정의와 준역상 기반 정의 간의 동치성을 확립하는 것.
• 자연스러운 조건 하에서 일치성, 안정성, 부분 비교 원리와 같은 기본 성질을 일반 완전 비선형 SPDEs/PPDEs/RPDEs에 대해 증명하는 것.
• 확산 계수의 형태가 반선형인 경우, SPDEs/PPDEs/RPDEs에 대해 완전한 존재성 및 비교 이론을 확립하는 것.

제안 방법

• 일반적인 일阶 난류미분방정식(RDEs)에 의해 지배되는 스토크스 특성에 沿한 시험 함수를 사용하여 점성해를 정의하는 것.
• 시험 함수 기반 정의와 고전적 준역상 기반 정의 간의 동치성을 확립하는 것.
• 약한 정규성 및 유계성 조건 하에서 일반 완전 비선형 SPDEs/PPDEs/RPDEs에 대해 일치성, 안정성, 부분 비교 원리를 증명하는 것.
• 반선형 확산 계수의 경우, 특성 방법을 사용하여 RPDE를 표준 편미분방정식으로 변환하는 것.
• 변환된 편미분방정식을 활용하여 반선형 케이스에서의 전역 존재성과 완전한 비교 원리를 도출하는 것.
• 난류 경로 이론을 활용하여 기저 확률 과정의 비정규성을 다루어 해 프레임워크의 강건성을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 난류 경로 기법을 사용하여 완전 비선형 SPDEs와 PPDEs에 대해 통합된 점성해 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 스토크스 특성에 沿한 시험 함수를 통한 점성해 정의가 준역상 정의와 동치인가?
• RQ3 일치성 및 안정성과 같은 기본 성질이 일반 완전 비선형 SPDEs/PPDEs/RPDEs의 점성해에 대해 성립하는가?
• RQ4 반선형 확산 계수를 갖는 SPDEs에 대해 완전한 존재성 및 비교 이론을 확립할 수 있는가?
• RQ5 특성 변환을 통해 난류 편미분방정식의 해를 어느 정도 표준 편미분방정식으로 환원할 수 있는가?

주요 결과

• 일반 완전 비선형 SPDEs/PPDEs/RPDEs에 대해 시험 함수 기반 정의와 준역상 기반 정의 간의 동치성이 성립한다.
• 제안된 점성해 프레임워크는 계수에 대한 자연스러운 조건 하에서 일치성과 안정성을 만족한다.
• 일반 완전 비선형 SPDEs/PPDEs/RPDEs에 대해 부분 비교 원리가 확립되어 적절한 제약 조건 하에서 해의 유일성이 보장된다.
• 반선형 확산 계수의 경우, 특성에 의해 RPDE를 표준 편미분방정식으로 변환할 수 있으며, 이로 인해 해의 전역 존재성이 보장된다.
• 반선형 케이스에서는 완전한 비교 원리가 도출되어 점성해의 유일성과 안정성이 보장된다.
• 이 이론은 SPDEs와 PPDEs를 난류 편미분방정식 프레임워크에 통합함으로써 강건하고 통합적인 접근을 제공한다.