[논문 리뷰] Pattern avoidance with involution

James D. Currie|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 13.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이원 알파벳 위에서 치환을 포함한 모든 단항 패턴에 대해 형태적 및 반형태적 방지 지수를 결정한다. 모든 이러한 패턴 중 길이가 4 이상인 경우(비어 있는 경우 제외), 형태적 및 반형태적 방지 지수 모두 정확히 2임을 증명하며, 이는 투-모르스 수열과 관련된 무한어를 기반으로 한 구성 방법을 통해 특정 요소 패턴을 형태적 및 반형태적 치환 하에서 피하는 데 사용된다.

ABSTRACT

We give the avoidance indices (morphic and antimorphic) for all unary patterns with involution.

연구 동기 및 목표

• 모든 이원 패턴에 대해 치환을 포함한 형태적 및 반형태적 방지 지수를 분류하기 위해.
• 형태적 및 반형태적 사상 하에서 변수와 그 치환 이미지가 모두 포함된 패턴의 방지 행동을 해결하기 위해.
• 기존의 패턴 방지 이론을 조합론적 어의 이입 대칭성을 포함하도록 확장하기 위해.
• 형태적 및 반형태적 치환 하에서 특정 요소 패턴을 피하는 무한 이원어를 구성하기 위해.
• 비어 있지 않은 모든 길이 ≥4의 단항 패턴이 형태적 및 반형태적 설정 모두에서 방지 지수가 정확히 2임을 입증하기 위해.

제안 방법

• 투-모르스 수열을 사용하여 무한 이원어 w = ∏_{j=0}^∞ 0²1^{t_i+2}를 구성하여 형태적 치환 하에서 xxg(x)x 형태의 요소를 피한다.
• h(0)=01, h(1)=10을 사용하여 투-모르스 수열 t = h^ω(0)를 정의하고, w와 v에서 블록 구조를 설정한다.
• 형태적 또는 반형태적 치환 하에서 금지된 요소(예: xxg(x)x, g(x)xxg(x), xxxx)가 존재한다고 가정하고 모순을 적용한다.
• x에 대한 구조적 제약(예: 000, 111, 010, 101이 없음)을 분석하여 금지된 요소를 생성할 수 있는 x의 가능 형태를 제거한다.
• 형태적 치환(항등 및 보완)과 반형태적 치환(역순 및 역순 보완)을 별도로 고려한다.
• 투-모르스 수열이 오버랩과 스퀘어를 피한다는 사실을 활용하여 x와 g(x)에 반복적인 구조가 존재하지 않도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이원 알파벳 {x, g(x)} 위에서 치환을 포함한 단항 패턴 p에 대해 형태적 방지 지수는 무엇인가?
• RQ2 이러한 패턴 p에 대해 반형태적 방지 지수는 무엇인가?
• RQ3 치환을 포함한 어떤 단항 패턴이 방지 지수가 무한이고, 어떤 패턴이 유한한가?
• RQ4 주어진 패턴 p의 모든 형태적 및 반형태적 사례를 피하는 무한 이원어를 구성할 수 있는가?
• RQ5 이입 대칭성 하에서 길이 4 이상의 패턴에 대해 방지 지수는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 길이 3인 모든 단항 패턴 p 중 xxx 및 g(x)g(x)g(x)를 제외한 경우, 형태적 및 반형태적 방지 지수 모두 3이다.
• xg(x), g(x)x, x, g(x) 패턴의 경우, 어떤 무한어도 그 사례를 피할 수 없기 때문에 두 방지 지수 모두 무한이다.
• 길이 4 이상인 모든 단항 패턴 p 중 xxx 또는 g(x)g(x)g(x)를 요소로 포함하지 않는 경우, 형태적 및 반형태적 방지 지수 모두 정확히 2이다.
• 무한어 w = ∏_{j=0}^∞ 0²1^{t_i+2}는 형태적 치환 하에서 xxg(x)x 형태의 모든 요소를 피한다.
• 무한어 v = ∏_{j=0}^∞ 01^{2t_i+1}는 형태적 치환 하에서 g(x)xxg(x) 형태의 모든 요소를 피한다.
• 무한어 (0001)^ω는 반형태적 치환 하에서 xxg(x)g(x), xg(x)xg(x), g(x)xxg(x) 형태의 모든 요소를 피한다.