[논문 리뷰] Period relations for automorphic forms on unitary groups and critical values of $L$-functions

Lucio Guerberoff|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 12.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 CM 필드 위의 유니터리 군에서 코homological 자동형식 표현에 대한 표준 L함수의 임계값을 자동형식 이차 주기와 CM 주기를 통해 페테르손 노름의 공식으로 연결하는 공식을 수립한다. 이는 듀얼링 방법과 자동형식 벡터 번들의 미분 연산자를 활용하여 델리그의 임계값에 대한 추측을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we explore some properties of periods attached to automorphic representations of unitary groups over CM fields and the critical values of their $L$-functions. We prove a formula expressing the critical values in the range of absolute convergence in terms of Petersson norms of holomorphic automorphic forms. On the other hand, we express the Deligne period of a related motive as a product of quadratic periods and compare the two expressions by means of Deligne's conjecture.

연구 동기 및 목표

• 유니터리 군에 대한 허리스의 결과를 허수 제곱이 아닌 임의의 CM 필드로 일반화한다.
• 절대 수렴 영역 내의 임계값을 정칙 자동형식의 페테르손 노름으로 표현한다.
• 모티브적 해석을 통해 이 L값들을 델리그 주기와 연결하고, 델리그의 임계값에 대한 추측을 검증한다.
• 테이트의 추측을 이용하여 자동형식 이차 주기와 모티브적 주기 사이의 주기 관계를 수립한다.
• 이차 주기의 프레임워크를 고차원 유니터리 군과 일반적인 CM 필드로 확장하여 $p$-진 L함수 구축을 가능하게 한다.

제안 방법

• 표준 L함수를 정칙 자동형식을 에이젠스타이니 시리즈와의 적분으로 표현하기 위해 듀얼링 방법을 적용한다.
• 글로벌 및 로컬 피아테츠키-샤피로-랄리스 제타 적분을 사용하여 L값을 자동형식의 내적과 연결한다.
• 헤어스 1986년의 자동형식 벡터 번들의 미분 연산자를 활용하여 $L$의 갈루아 코어 $L'$ 위에서 제타 적분의 유리성 보장한다.
• 자기표현 $\pi$ 내의 산술적 정칙 벡터의 페테르손 노름으로 자동형식 이차 주기 $Q^{\text{hol}}(\tau)$를 정의한다.
• CM 필드 $L$의 대수적 허케 캐릭터 $\psi$와 관련된 CM 주기 $P(\psi)$를 도입한다.
• 테이트의 추측을 이용하여 모티브의 호지-드람 구조를 $\ell$-adic 실현과 연결하여 모티브적 주기 비교를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CM 필드 위의 유니터리 군에서 코homological 자동형식 표현에 대한 표준 L함수의 임계값은 자동형식 주기로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 모티브의 델리그 주기와 정칙 형식에서 유도된 자동형식 이차 주기 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 델리그의 추측이 예측하는 주기 관계는 일반적인 CM 필드 위의 유니터리 군에 대해 어느 정도 성립하는가?
• RQ4 자동형식 이차 주기 $Q^\text{hol}(\pi)$와 CM 주기 $P(\psi)$는 임계 L값을 어떻게 조합하여 표현하는가?
• RQ5 테이트의 추측과 호지 이론적 구조를 사용하여 L값 공식의 모티브적 해석을 어떻게 정당화할 수 있는가?

주요 결과

• 임계값 $L^S(m - (n-1)/2, \pi \otimes \psi, \text{St})$ 는 $2\pi i$의 거듭제곱, 판별식 인자 $D_K^{\lfloor(n+1)/2\rfloor/2}$, CM 주기 $P(\psi)$, 자동형식 이차 주기 $Q^\text{hol}(\pi)$의 곱으로 표현되며, $E(\pi) \otimes E(\psi) \otimes L'$ 내의 대수적 수까지의 오차를 포함한다.
• 자동형식 이차 주기 $Q^\text{hol}(\pi)$ 는 자동형식 표현 $\pi$ 내의 산술적 정칙 벡터의 페테르손 노름으로 정의된다.
• 짝수 $n$ 에서는 $E \otimes K'$ 위에서 모티브적 주기 $\partial(M)$ 이 추측적으로 자명해지며, 이는 델리그의 추측을 $Q^\text{hol}(\pi) \sim_{E(\psi)EL'} Q^\text{s}(M)$ 의 등식으로 환원한다.
• 홀수 $n$ 에서는 모티브적 주기 $\delta(M)$ 이 $D_K^{n/2} (2\pi i)^{-n(n-1)/2}$ 와 동치임을 보여주며, 이 역시 $\partial(M) \sim 1$ 으로 이어지고 델리그의 추측의 약한 형태를 검증한다.
• 테이트의 추측에 따라 주기 관계 $Q^\text{hol}(\pi) \sim_{E(\psi)EL'} \prod_{\tau \in \Phi} \prod_{j=1}^{s_\tau} Q_{j,\sigma}(M)$ 가 성립하며, 자동형식 주기와 모티브적 주기를 연결한다.
• 결과는 허리스의 이전 작업을 허수 제곱 필드에서 일반적인 CM 필드로 확장하며, $p$-진 L함수와 모티브적 특수값을 위한 프레임워크를 제공한다.