[논문 리뷰] Periodic representations for cubic irrationalities

Marco Abrate, Stefano Barbero외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 10.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 Rédei 유리함수의 형태를 사용하여 삼차 무리수 $(\sqrt[3]{d^2}, \sqrt[3]{d})$ 의 주기적인 분기 연분수를 구성하는 새로운 방법을 제안한다. 정수 $z$ 를 매개변수로 삼아 전개를 파arameter화함으로써 짧고 예측 가능한 주기를 보장하고, 선형 재귀 수열을 통해 유리수 근사를 제공함으로써, 이러한 삼차 쌍에 대해 고전적 Jacobi 알고리즘의 비주기성 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we present some results related to the problem of finding periodic representations for algebraic numbers. In particular, we analyze the problem for cubic irrationalities. We show an interesting relationship between the convergents of bifurcating continued fractions related to a couple of cubic irrationalities, and a particular generalization of the Redei polynomials. Moreover, we give a method to construct a periodic bifurcating continued fraction for any cubic root paired with another determined cubic root.

연구 동기 및 목표

• 이차 수를 초월하는 대수적 수에 대해 주기적인 표현을 찾는 헤르미트 문제를 다루기 위해, 특히 삼차 무리수에 대해.
• 특정 삼차 쌍인 $(\sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{9})$ 와 같이 고전적 Jacobi–Perron 알고리즘이 비주기적인 경우를 극복하기 위해.
• Rédei 유리함수를 일반화하여 삼차근에 대한 주기적인 연분수 전개를 구성하기 위해.
• 선형 재귀 수열을 통해 $\sqrt[3]{d^2}$ 와 $\sqrt[3]{d}$ 를 체계적으로 유리수 근사하는 방법을 제공하기 위해.
• 적절한 매개변수 $z$ 를 선택하면 임의의 $d$ 에 대해 주기적인 전개를 구성할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• Rédei 유리함수를 일반화하여 삼차 무리수에 대한 매개변수화된 주기적 분기 연분수의 가족을 생성하기 위해.
• 수열 $A_n, B_n, C_n$ 을 사용한 행렬 기반 변환을 정의하여 연분수의 수렴근을 생성하기 위해.
• Jacobi 알고리즘을 기준선으로 삼고, 새로운 방법과 대비하여 짧고 보장된 주기를 보여주기 위해.
• 수열이 일반화된 Rédei 함수와 매개변수 $z = \lfloor \sqrt[3]{d} \rfloor$ 에 의해 유도되는 방식으로 $[\{a_n\}, \{b_n\}]$ 의 형태로 연분수 표현을 구성하기 위해.
• 비율 $\tilde{A}_n / \tilde{C}_n$ 과 $\tilde{B}_n / \tilde{C}_n$ 의 극한이 각각 $\sqrt[3]{d^2}$ 와 $\sqrt[3]{d}$ 로 수렴함을 보여주는 수렴 공식을 유도하기 위해.
• 행렬 곱의 형태 (2.5) 를 사용한 인수분해 조건을 설정하여 방법이 기존 연분수 구조와 연결되도록 하되, 수렴을 위해 전체 인수분해가 필수적인 것은 아님을 밝히기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 형태 $(\sqrt[3]{d^2}, \sqrt[3]{d})$ 의 삼차 무리수에 대해 주기적인 연분수 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 Rédei 함수 구성이 고전적 Jacobi 알고리즘보다 짧고 더 예측 가능한 주기를 제공하는가?
• RQ3 삼차 무리수에 대한 유리수 근사는 연분수에서 유도된 선형 재귀 수열을 통해 체계적으로 생성할 수 있는가?
• RQ4 결과로 얻어지는 분기 연분수 전개가 $\sqrt[3]{d^2}$ 와 $\sqrt[3]{d}$ 에 대해 보장된 작은 주기를 갖도록 하는 매개변수 $z$ 가 존재하는가?
• RQ5 수렴근의 행렬 표현이 (2.5) 형식의 기본 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 임의의 $d$ 에 대해 $z = \lfloor \sqrt[3]{d} \rfloor$ 를 매개변수로 삼을 경우, $(\sqrt[3]{d^2}, \sqrt[3]{d})$ 는 주기 3, 전주기 2를 갖는 주기적 분기 연분수를 갖는다. 이는 $d=16$ 과 $d=25$ 에서 확인되었다.
• 이 방법은 $z=2$ 인 $(\sqrt[3]{16}, \sqrt[3]{4})$ 에 대해 주기 3 전개를 생성하며, 이는 1000개의 부분분수에 걸쳐 비주기적 행동을 보이는 Jacobi 알고리즘과 대조된다.
• $(\sqrt[3]{25}, \sqrt[3]{5})$ 에 대해서는 주기 3 전개와 전주기 2를 제공하지만, Jacobi 알고리즘은 더 긴 주기 6 전개와 전주기 7을 제공한다.
• 유리수 근사의 극한인 $\tilde{A}_n / \tilde{C}_n$ 과 $\tilde{B}_n / \tilde{C}_n$ 이 각각 $\sqrt[3]{d^2}$ 와 $\sqrt[3]{d}$ 로 수렴함을 식 (3.7) 과 (3.8) 에서 보여주었다.
• 일반 행렬의 항목을 (2.5) 형식의 네 개의 행렬 곱과 일치시키는 유리수 해가 존재하여, 임의의 삼차 쌍에 대해 주기적 연분수 전개를 구성할 수 있다.
• 이 방법은 행렬이 (2.5)-형식의 행렬들로 완전히 인수분해되어야 하는 것은 아니지만, 근사값이 실제로 분기 연분수의 수렴근임을 확인하기 위해서는 그러한 인수분해가 필요할 수 있다.