[논문 리뷰] Periods and borders of random words

Štěpán Holub, Jeffrey Shallit|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 17.

semigroups and automata theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정된 알파벳 위에서 무작위 단어의 주기 및 경계 길이의 통계적 행동을 조사한다. Fine와 Wilf 정리 및 FW-단어의 구조를 기반으로 한 조합적 수세기와 재귀 관계를 사용하여, 길이 $ n $ 인 무작위 단어가 주어진 최대 경계 길이 $ r $ 을 가질 확률의 渐近적 값을 계산하는 정확한 재귀 공식을 도출한다. 주요 결과는 무한대에 가까워질수록 최대 경계 길이의 기대값 $ \alpha_\ell(n) $ 이 상수 $ \alpha_\ell $ 으로 수렴한다는 것이다. 이는 이진 단어의 경우 $ \alpha_2 \approx 1.641 $ 이다.

ABSTRACT

We investigate the behavior of the periods and border lengths of random words over a fixed alphabet. We show that the asymptotic probability that a random word has a given maximal border length $k$ is a constant, depending only on $k$ and the alphabet size $\ell$. We give a recurrence that allows us to determine these constants with any required precision. This also allows us to evaluate the expected period of a random word. For the binary case, the expected period is asymptotically about $n-1.641$. We also give explicit formulas for the probability that a random word is unbordered or has maximum border length one.

연구 동기 및 목표

• 길이 $ n $ 인 $ \ell $-문자 알파벳 위의 무작위 단어가 주어진 최대 경계 길이 $ r $ 을 가질 확률의 渐近적 값을 정량화하는 것.
• 임의의 정밀도로 기대 최대 경계 길이 $ \alpha_\ell(n) $ 을 계산할 수 있는 재귀 관계를 도출하는 것.
• 무작위 단어의 기대 최소 주기의 평가를 통해 $ \alpha_\ell(n) = \mathcal{O}(1) $ 이므로 $ n - \alpha_\ell(n) $ 으로 표현됨을 보여주는 것.
• 무작위 단어가 경계가 없거나 최대 경계 길이가 1인 확률에 대한 명시적 공식 제공.
• 다양한 알파벳 크기 $ \ell $ 에 대해 한계 기대 경계 길이 $ \alpha_\ell $ 를 계산하며, $ \alpha_2 \approx 1.641 $ 포함

제안 방법

• 주어진 집합 $ P $ 에 속한 주기를 가진 길이 $ n $ 의 단어 집합 $ \mathcal{G}_\ell(P,n) $ 과 최소 주기가 정확히 $ \min P $ 인 단어 집합 $ \mathcal{F}_\ell(P,n) $ 을 정의하며, FW-단어 구성법을 사용한다.
• 공식 $ G\_\ell(P,n) = \ell^{\mathfrak{c}(P,n)} $ 를 사용하며, 여기서 $ \mathfrak{c}(P,n) $ 는 주기 집합 $ P $ 를 가진 FW-단어에 필요한 최소 알파벳 크기로, 재귀 알고리즘을 통해 계산된다.
• 단어의 구조적 분해와 경계 성질을 기반으로 최대 경계 길이가 $ r $ 인 단어의 수에 대한 재귀 관계를 유도한다.
• 무경계 단어의 수를 세는 수열 $ s(n) $ 에 대해 함수 방정식과 생성 함수를 수립하며, 이는 $ \lambda_\ell(1) $ 과 $ \alpha_\ell $ 의 재귀 관계를 이끌어낸다.
• 홀수 $ n $ 에 대해 $ v_n = \ell v_{n-1} - v_{\lfloor n/2 \rfloor} $, 짝수 $ n $ 에 대해 $ v_n = \ell^2 v_{n-2} - v_{n/2} $ 라는 재귀식을 사용하여 경계 길이 확률을 계산한다.
• 생성 함수 $ L_1(x) $ 는 $ L_1(x) = \frac{x^2}{\ell(1-x)} + \frac{\ell - 1 - \ell/x}{1 - x} L_1\left(\frac{x^2}{\ell}\right) $ 를 만족하며, 이는 $ \lambda_\ell(r) $ 과 $ \alpha_\ell $ 의 고정밀도 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $ n $ 인 $ \ell $-문자 알파벳 위의 무작위 단어가 최대 경계 길이 $ r $ 을 가질 확률의 渐近적 값은 무엇인가요?
• RQ2 무한대에 가까워질 때 기대 최대 경계 길이 $ \alpha_\ell(n) $ 의 행동은 어떻게 되며, 그 한계 값 $ \alpha_\ell $ 는 무엇인가요?
• RQ3 무작위 이진 단어가 무경계이거나 최대 경계 길이가 1인 정확한 확률은 무엇인가요?
• RQ4 임의의 정밀도로 무작위 단어의 기대 주기를 계산할 수 있는 재귀 관계를 유도할 수 있는가요?
• RQ5 길이 $ n $ 인 무작위 이진 단어의 기대 최소 주기는 무엇이며, $ n $ 과 비교해 보면 어떻게 되나요?

주요 결과

• 길이 $ n $ 인 무작위 단어가 최대 경계 길이 $ r $ 을 가질 확률의 渐近적 값은 $ r $ 과 알파벳 크기 $ \ell $ 에만 의존하는 상수 $ \lambda_\ell(r) $ 로 수렴한다.
• 이진 단어($ \ell = 2 $) 의 경우, 기대 최대 경계 길이는 渐近적으로 $ \alpha_2 \approx 1.64116491178296695613 $ 이며, 따라서 기대 최소 주기는 $ n - 1.641 $ 이다.
• 무작위 이진 단어가 무경계일 확률은 약 $ 26.78\% $ 이며, 최대 경계 길이가 1인 확률은 약 $ 30.04\% $ 이다.
• 더 큰 알파벳의 경우, 기대 경계 길이 $ \alpha_\ell $ 는 감소한다: $ \alpha_3 \approx 0.6859 $, $ \alpha_4 \approx 0.4220 $, $ \alpha_5 \approx 0.3020 $, $ \alpha_{50} \approx 0.0208 $.
• 생성 함수 $ L_1(x) $ 는 고정밀도로 $ \lambda_\ell(1) $ 를 계산할 수 있도록 하는 함수 방정식을 만족하며, 시리즈 표현으로는 $ L_1(1/\ell) = \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{\ell^{n+1}} \prod_{i=1}^{n} \frac{\ell^{2^{i-1}} - \ell + 1}{\ell^{2^i - 1} - 1} $ 이 도출된다.
• 재귀식 $ s(2n) = 1/\ell - \sum_{j=1}^{n} s(j) \ell^{-j} $ 는 큰 $ n $ 에서 $ \alpha_\ell $ 의 효율적 수치 평가를 가능하게 하며, 수렴성이 $ |\lambda_\ell(r,n+1) - \lambda_\ell(r,n)| \leq \ell^{-\lfloor n/2 \rfloor} $ 의 유계 조건에 의해 보장된다.