[논문 리뷰] Permutation polynomials induced from permutations of subfields, and some complete sets of mutually orthogonal latin squares

Michael E. Zieve|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 04.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 16인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 유한체 $fiq$ 상에서의 순열 다항식을 부분체 $fiQ$ 의 순열로부터 구성하는 새로운 방법을 제안한다. 여기서 $q = Q^m$ 이다. 노름 사상과 지수 및 계수 다항식에 대한 조건을 활용하여, 완전한 순열 다항식을 포함한 새로운 순열 다항식의 가족을 생성하고, 이를 통해 상호 직교하는 라틴 제곱의 완전한 집합(MOLS)을 구성한다. 이는 Wu와 Lin(2013)이 제기한 열린 문제를 해결하며, 최근 결과들의 증명을 단순화한다.

ABSTRACT

We present a general technique for obtaining permutation polynomials over a finite field from permutations of a subfield. By applying this technique to the simplest classes of permutation polynomials on the subfield, we obtain several new families of permutation polynomials. Some of these have the additional property that both f(x) and f(x)+x induce permutations of the field, which has combinatorial consequences. We use some of our permutation polynomials to exhibit complete sets of mutually orthogonal latin squares. In addition, we solve the open problem from a recent paper by Wu and Lin, and we give simpler proofs of much more general versions of the results in two other recent papers.

연구 동기 및 목표

• 알려진 부분체 $fiQ$ 상의 순열 다항식으로부터 $fiq$ 상에서의 순열 다항식을 생성하는 일반적인 기법을 개발하는 것.
• 다항식 $f(x)$ 와 $f(x)+x$ 가 모두 $fiq$ 를 순열로 만드는 완전한 순열 다항식의 새로운 가족을 구성하는 것.
• 이러한 다항식을 활용하여 상호 직교하는 라틴 제곱(MOLS)의 완전한 집합을 구성하는 것.
• Wu와 Lin가 제기한 $fi{2^{2^e}}$ 상의 완전한 순열 다항식에 관한 열린 문제를 해결하는 것.
• 최근의 순열 다항식 및 MOLS에 관한 결과들의 더 단순하고 일반적인 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 정리 1.1을 사용: 다항식 $x^r h(x^{(q-1)/(Q-1)})$ 이 $fiq$ 를 순열로 만드는 것은 $∼(r, (q-1)/(Q-1)) = 1$ 이고, $g(x) = x^r N(h(x))$ 가 $fiQ$ 를 순열로 만드는 것과 동치이며, 여기서 $N$ 은 $fiq$ 에서 $fiQ$ 로의 노름 사상이다.
• Corollary 1.2를 적용할 때 $h(x) \in \ufb01Q[x]$ 이면, 문제를 $x^r h(x)^m$ 이 $fiQ$ 를 순열로 만드는지 확인하는 것으로 단순화할 수 있다.
• Corollary 1.3을 적용할 때 $m \equiv 1 \pmod{Q-1}$ 이면 조건이 단순화되어, $mn \equiv 1 \pmod{Q-1}$ 이면 $x^{rn} h(x)$ 가 $fiQ$ 를 순열로 만드는 것으로 충분하다.
• 새로운 가족의 다항식을 입력으로 하여, $f(x)$ 와 $f(x)+x$ 가 모두 순열 다항식임을 보장함으로써 완전한 순열 다항식을 구성한다.
• 상호 직교성 조건을 활용하여 MOLS를 생성: 순열 다항식 $f$ 는 $i + f(j)$ 를 원소로 하는 라틴 제곱을 정의하며, $f - g$ 가 순열이면 직교성이 보장된다.
• 기존의 MOLS 및 사영 평면 이론을 활용하여, 특정 가족의 다항식으로부터 $Q^2 - 1$ 또는 $Q^3 - 1$ 개의 MOLS 가 완전한 집합으로 생성됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 $fiq$ 상의 순열 다항식은 부분체 $fiQ$ 의 순열 다항식으로부터 체계적으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 $q = Q^m$ 일 때, $x^r h(x^{(q-1)/(Q-1)})$ 가 $fiq$ 를 순열로 만드는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이 새로운 구성법이 $f(x)$ 와 $f(x)+x$ 가 모두 순열인 완전한 순열 다항식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 이러한 다항식을 사용하여 상호 직교하는 라틴 제곱(MOLS)의 완전한 집합을 생성할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 최근의 순열 다항식 및 MOLS에 관한 결과들을 단순화하거나 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $fiQ$ 상의 순열 다항식을 사용하여 $fi{Q^m}$ 상에서의 새로운 순열 다항식의 가족을 구성하며, 이는 노름 조건 $g(x) = x^r N(h(x))$ 를 기반으로 한다.
• 특히 $h(x) \in \ufb01Q[x]$ 이면, 구성 과정이 $x^r h(x)^m$ 이 $fiQ$ 를 순열로 만드는지 확인하는 것으로 단순화되어 체계적인 생성이 가능하다.
• 이 방법은 $fi{2^{2^e}}$ 상에서 완전한 순열 다항식을 생성하여, Wu와 Lin(2013)이 제기한 열린 문제를 해결한다.
• 연구자들은 $Q \not\equiv 1 \pmod{3}$ 이면 $Q^2$ 차수의 $Q^2 - 1$ 개의 MOLS 완전 집합을, $Q$ 가 2의 거듭제곱이면 $Q^3$ 차수의 $Q^3 - 1$ 개의 MOLS 완전 집합을 구성한다.
• 최근 Tu 등(2013)과 Xu 등(2014)의 정리들은 제안된 프레임워크의 특수한 경우임을 보여주며, 이들의 결과를 일반화하고 증명을 단순화한다.
• 이 방법은 [12, Thm. 4] 를 포함하지 않으며, 이는 덧셈군 기반 접근법에 의존하므로, 곱셈적 노름 접근법 외의 다른 유형의 순열 다항식이 존재할 수 있음을 시사한다.