[논문 리뷰] Permutations with given peak set

Sara Billey, Krzysztof Burdzy외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 04.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 11인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 특정 피크 집합을 가진 순열을 조사하며, 고정된 피크 집합 $ S $에 대해 $ n $-순열 중 피크 집합이 $ S $인 순열의 수가 渐近적으로 $ p(n) ⋅ 2^{n - \#S - 1} $임을 증명한다. 여기서 $ p(n) $는 $ S $에 따라 결정되는 $ n $에 대한 다항식이다. 주요 기여는 주어진 피크 집합을 가진 순열을 정확히 다항식 시간 내에 세는 공식을 제시하며, 다양한 $ S $에 대해 $ p(n) $를 명시적으로 계산하고, $ S $가 $ n $에 따라 변하는 경우도 포함한다. 또한 계수의 비음성과 피크 집합 최대화에 관한 추측을 제기한다.

ABSTRACT

Let Sym_n denote the symmetric group of all permutations pi = a_1...a_n of {1,...,n}. An index i is a peak of pi if a_{i-1} < a_i > a_{i+1} and we let P(pi) be the set of peaks of pi. Given any set S of positive integers we define P(S;n) to be the set pi in Sym_n with P(pi)=S. Our main result is that for all fixed subsets of positive integers S and all sufficiently large n we have #P(S;n)= p(n) 2^{n-#S-1} for some polynomial p(n) depending on S. We explicitly compute p(n) for various S of probabilistic interest, including certain cases where S depends on n. We also discuss two conjectures, one about positivity of the coefficients of the expansion of p(n) in a binomial coefficient basis, and the other about sets S maximizing #P(S;n) when #S is fixed.

연구 동기 및 목표

• 고정된 피크 집합 $ S $를 가진 $ \mathfrak{S}_n $ 내 순열의 수를 특성화하는 것. 여기서 피크는 $ a_{i-1} < a_i > a_{i+1} $를 만족하는 인덱스 $ i $이다.
• 임의의 고정된 타당한 피크 집합 $ S $에 대해, 이러한 순열의 수가 $ p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $로 증가함을 증명하는 것. 여기서 $ p(n) $는 $ n $에 대한 다항식이다.
• 다양한 집합 $ S $에 대해 피크 다항식 $ p(n) $를 명시적으로 계산하는 것. 이는 확률적 관심을 끄는 경우와 $ n $에 따라 변하는 일부 경우를 포함한다.
• 두 가지 추측을 조사하는 것: 첫째, $ p(n) $이 이항계수 기저에서 전개될 때 계수가 음수가 아님을 보여주는 것; 둘째, 고정된 $ \#S $에 대해 $ \#P(S;n) $를 최대화하는 $ S $는 무엇인지 파악하는 것.

제안 방법

• 가장 작은 원소(1)의 위치에 기반한 순열의 귀납적 분해와 재귀적 분해를 사용하여 주요 수량 세기 공식을 유도하는 것.
• 모든 $ S $가 어떤 $ \mathfrak{S}_n $ 내에서 피크 집합으로 나타날 수 있도록 보장하기 위해 $ n $-타당성의 정의를 도입하는 것.
• 조합적 분해의 적용: $ \pi \in P(S;n) $에 대해, 각 피크 주변의 원소 상대적 순서에 의해 $ \pi $의 구조가 제약을 받으며, 이는 부분집합 선택을 통한 재귀적 세기로 이어진다.
• 특정 $ S $에 대해 $ p(n) $를 명시적으로 계산하는 것. 이는 $ S = \emptyset $, $ S = \{m\} $, $ S = \{2,m\} $, $ S = \{2,m,n-1\} $ 등을 포함하며, 이항계수와 케이스 분석을 사용한다.
• 피크와 골짜기(밸리)를 모두 가진 순열로 방법을 확장하여 $ PV(S;n) $을 정의하고, $ \#PV(S;n) = q(n) $임을 증명하는 것. 여기서 $ q(n) $는 차수 $ \max S - 1 $의 다항식이다.
• 기존의 재귀 관계(예: David와 Barton의 $ f(s,n) $에 대한 재귀식)를 적용하여 주요 공식을 검증하고, 작은 피크 수에 대해 명시적 닫힌 형태를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 집합 $ S $에 대해, $ \mathfrak{S}_n $ 내 피크 집합이 $ S $인 순열의 수의 정확한 渐近적 성장률은 무엇인가?
• RQ2 이러한 순열의 수가 $ p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $로 표현될 수 있는가? 만약 그렇다면, $ p(n) $는 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 피크 다항식 $ p(n) $의 구조는 무엇이며, 이 다항식이 이항계수 기저에서 전개될 때 계수들이 음수가 아닐까?
• RQ4 고정된 크기의 피크 집합 $ S $ 중에서 $ \mathfrak{S}_n $ 내 피크 집합이 $ S $인 순열의 수를 최대화하는 $ S $는 무엇인가?
• RQ5 이 방법은 피크와 골짜기를 모두 가진 순열로 어떻게 확장될 수 있으며, 그 결과로 도출되는 수량 세기 공식은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 고정된 타당한 피크 집합 $ S = \{i_1 < \cdots < i_s\} $에 대해, $ \mathfrak{S}_n $ 내 피크 집합이 $ S $인 순열의 수는 $ \#P(S;n) = p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $이다. 여기서 $ p(n) $는 차수 $ i_s - 1 $의 다항식이다.
• 피크 다항식 $ p(n) $는 정수 값을 가진 다항식이며, $ S = \emptyset $일 경우 $ \#P(\emptyset;n) = 2^{n-1} $이므로 $ p(n) = 1 $이다.
• $ S = \{m\} $일 경우 피크 다항식은 $ p(n) = \binom{n-1}{m-1} $이므로 $ \#P(\{m\};n) = \binom{n-1}{m-1} \cdot 2^{n - 2} $이다.
• $ S = \{2,m\} $일 경우 피크 다항식은 $ p(n) = \binom{n-2}{m-2} + (m-2)\binom{n-1}{m-1} $이며, 따라서 $ \#P(\{2,m\};n) = \left[ \binom{n-2}{m-2} + (m-2)\binom{n-1}{m-1} \right] \cdot 2^{n - 3} $이다.
• $ S = \{2,m,n-1\} $일 경우 피크 다항식은 $ p(n) = 2(n-1)\left[ \binom{n-4}{m-2} + (m-2)\binom{n-3}{m-1} \right] $이므로 $ \#P(\{2,m,n-1\};n) = p(n) \cdot 2^{n - 4} $이다.
• 논문은 알려진 공식, 즉 정확히 한 개의 피크를 가진 순열의 수 $ f(1,n) = 2^{2n-3} - n \cdot 2^{n-2} $가 주요 정리와 계산된 피크 다항식으로부터 유도됨을 검증한다.