[논문 리뷰] Persistence, coexistence and extinction in two species chemotaxis models on bounded heterogeneous environments

Tahir Bachar Issa, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 28.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비균일하고 시간·공간에 따라 변화하는 로지스틱 항을 갖는 이종 생물의 화학유도성 시스템에서 전역적 존재성, 유계성, 지속 가능성, 공존 및 멸종 역학을 수립한다. 화학유도성이 로지스틱 감쇠보다 약할 조건에서, 새로운 비교 원리와 리아푸노프 유형 분석을 통해 두 종이 모두 지속되며 공존하거나, 한 종이 멸종하고 다른 종은 수용 능력에 도달함을 증명한다. 이는 환경의 비균일성을 고려한 화학유도성 설정으로 고전적 경쟁 이론을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a two species chemotaxis system of parabolic-parabolic-elliptic type with Lotka-Volterra type competition terms in heterogeneous media. We first find various conditions on the parameters which guarantee the global existence and boundedness of classical solutions with nonnegative initial functions. Next, we find further conditions on the parameters which establish the persistence of the two species. Then, under the same set of conditions for the persistence of two species, we prove the existence of coexistence states. Finally we prove the extinction phenomena in the sense that one of the species dies out asymptotically and the other reaches its carrying capacity as time goes to infinity. The persistence in general two species chemotaxis systems is studied for the first time. Several important techniques are developed to study the persistence and coexistence of the two species chemotaxis systems. Many existing results on the persistence, coexistence, and extinction on two species competition systems without chemotaxis are recovered.

연구 동기 및 목표

• 공간적·시간적 비균일성을 갖는 환경에서 두 경쟁 종의 장기적 역학—지속 가능성, 공존, 멸종—을 분석한다.
• 공유 화학 신호를 향한 화학유도성 이동을 포함한 고전적 이종 경쟁 이론을 확장한다.
• 모델 매개변수에 대한 충분조건을 수립하여 고전적 해의 전역적 존재성과 유계성을 보장한다.
• 지속 가능성 조건 하에서 공존 상태의 존재를 증명하고, 한 종이 渐진적으로 멸종하는 경우를 특성화한다.

제안 방법

• 비균일 계수를 갖는 포물선-포물린-타원형 화학유도성 시스템에 특화된 새로운 비교 원리를 개발하였다.
• 해의 성장 제어 및 유계성 확보를 위해 리아푸노프 유형 함수와 에너지 추정을 적용하였다.
• 시간·공간에 따라 변화하는 계수의 최소값과 최대값 추정을 사용하여 지속 가능성 기준을 도출하였다.
• 지속 가능성 조건 하에서 슈에퍼의 고정점 정리에 의해 공존 상태의 존재성을 확립하였다.
• 점근적 분석과 수렴 추론을 활용하여 장기적 한계에서의 멸종을 증명하였다.
• 타원형 비교 원리를 활용하여 해를 정적 근사와 비교하고 장기적 행동의 타당성을 검증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일하고 시간·공간에 따라 변화하는 로지스틱 항을 갖는 이종 생물의 화학유도성 시스템에서 두 종이 어떤 조건에서 지속 가능할 수 있는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 공존 상태가 존재할 수 있는 조건은 무엇이며, 그 존재에 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 한 종이 멸종하고 다른 종이 수용 능력에 도달하는 경우가 발생할 수 있는가? 이러한 현상은 어떤 매개변수 영역에서 발생하는가?
• RQ4 화학유도성은 고전적 비화학유도성 모델과 비교해 경쟁 결과에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 환경의 비균일성은 지속 가능성 또는 멸종 결과를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 화학유도성 효과가 로지스틱 감쇠보다 충분히 작을 경우, 즉 $ \chi_i \ll d_3 $ 이고 $ a_{1,\inf} > \chi_1 k / d_3 $, $ b_{2,\inf} > \chi_2 l / d_3 $ 일 때, 고전적 해의 전역적 존재성과 유계성이 보장된다.
• 내재적 성장률이 경쟁과 화학유도성 이동 효과의 합보다 높을 조건 하에서 두 종의 지속성이 입증된다. 특히 $ b_{0,\inf}(a_{1,\inf} - \chi_1 k / d_3) > (b_{1,\sup} - k\chi_2/d_3)_+ a_{0,\sup} + \text{수정 항} $ 일 때 성립한다.
• 공존 상태는 동일한 지속 가능성 조건 하에서 존재하며, 정적 근사 시스템에 고정점 추론을 적용하여 증명되었다.
• 한 종이 경쟁에서 열등할 경우 멸종이 발생한다: $ u \to 0 $ 이면 $ v \to v^* $, 즉 종 $ v $의 수용 능력에 도달하며, 이는 $ b_{0,\inf}(b_{2,\inf} - \chi_2 l / d_3) > \text{다음 항들에 의해 지배되는 항들} $ 인 조건 하에서 성립한다.
• 화학유도성이 없는 경우($ \chi_1 = \chi_2 = 0 $) 시스템은 고전적 이종 경쟁 결과(지속 가능성, 공존, 멸종)를 회복하며, 이는 이전 이론과의 일관성을 검증한다.
• 분석 결과, 화학유도성이 공존 상태를 불안정하게 만들 수 있으나, 약한 화학유도 감도 조건 하에서는 비화학유도 모델과 동일한 장기적 역학을 유지한다.