[논문 리뷰] Perturbative gadgets without strong interactions

Yudong Cao, Daniel Nagaj|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 목표 k-Body 해밀토니안을 상호작용 강도 γ = O(1)로 근사하는 데 있어, 전형적인 O(ε⁻¹) 대신 오직 약화된 상호작용 강도 O(ε)를 사용함으로써 오차 ε ≪ γ 이내로 수행하는 새로운 2-Body 섭동 가젯 구성을 제안한다. 핵심 혁신은 섭동 급수의 수렴 조건을 새롭게 설정하여 가젯을 병렬로 적용할 수 있게 하고, 필요한 상호작용 강도를 감소시키면서 애너실라 큐비트와 상호작용 항의 다항식 오버헤드를 유발한다.

ABSTRACT

Perturbative gadgets are used to construct a quantum Hamiltonian whose low-energy subspace approximates a given quantum $k$-body Hamiltonian up to an absolute error $ε$. Typically, gadget constructions involve terms with large interaction strengths of order $ ext{poly}(ε^{-1})$. Here we present a 2-body gadget construction and prove that it approximates a target many-body Hamiltonian of interaction strength $γ= O(1)$ up to absolute error $ε\llγ$ using interactions of strength $O(ε)$ instead of the usual inverse polynomial in $ε$. A key component in our proof is a new condition for the convergence of the perturbation series, allowing our gadget construction to be applied in parallel on multiple many-body terms. We also show how to apply this gadget construction for approximating 3- and $k$-body Hamiltonians. The price we pay for using much weaker interactions is a large overhead in the number of ancillary qubits, and the number of interaction terms per particle, both of which scale as $O( ext{poly}(ε^{-1}))$. Our strong-from-weak gadgets have their primary application in complexity theory (QMA hardness of restricted Hamiltonians, a generalized area law counterexample, gap amplification), but could also motivate practical implementations with many weak interactions simulating a much stronger quantum many-body interaction.

연구 동기 및 목표

• 강한 k-Body 상호작용을 O(ε⁻¹) 상호작용 강도가 아닌 오직 약한 이중 상호작용만을 사용하여 시뮬레이션하는 섭동 가젯을 개발한다.
• 다수의 many-body 항에 대해 가젯을 병렬 적용할 수 있도록 하는 섭동 급수의 새로운 수렴 조건을 확립한다.
• 필요로 하는 상호작용 강도를 O(ε⁻¹)에서 O(ε)로 감소시키면서도 효과적인 해밀토니안 근사가 절대 오차 ε 이내로 유지되도록 한다.
• 물리적으로 더 접근 가능한 약한 상호작용을 사용하여 양자 복잡도 이론의 응용, 예를 들어 제한된 해밀토니안의 QMA 난이도 및 갭 확대를 가능하게 한다.
• 기존의 3-Body에서 2-Body로의 가젯 축소 기법과 결합하여 k-Body 해밀토니안으로 일반화한다.

제안 방법

• 약한 상호작용 강도 O(ε)로 타겟 스핀에 연결된 애너실라 큐비트의 핵심 구조를 사용하여 2-Body 가젯 해밀토니안을 개발한다.
• 가젯 해밀토니안의 스펙트럼 특성에 기반한 섭동 급수의 새로운 수렴 조건을 도입하여 오차 급수가 기하급수적으로 수렴하도록 보장한다.
• 전체 가젯 해밀토니안에 대해 섭동 전개를 적용하여, 저에너지 하위공간이 목표 해밀토니안을 O(ε) 오차 이내로 근사함을 증명한다.
• 스케일링 추론과 행렬 노름에 대한 경계를 사용하여 섭동 급수의 오차 항을 제어하고, 큰 R에 대해 O(R⁻ᵈᐟ²)로 감소함을 보인다.
• 기존의 3-Body에서 2-Body로의 변환 기법(예: Oliveira 및 Terhal의 연구)과 새로운 약한 상호작용 기반 2-Body 가젯을 조합하여 강한 k-Body 상호작용을 약한 결합만으로 시뮬레이션한다.
• 애너실라 큐비트 수와 상호작용 항의 총 수가 O(poly(ε⁻¹))로 스케일링되며, 이는 상호작용 그래프의 공간 차원 d에 따라 차수에 따라 달라지는 오버헤드를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 섭동 가젯이 O(1) 상호작용 강도를 가진 목표 k-Body 해밀토니안을 O(ε) 상호작용 강도만을 사용하여 근사할 수 있는가? 이는 전형적인 O(ε⁻¹)가 아닌 것이다.
• RQ2 가젯을 병렬로 적용할 때 섭동 급수가 유한하게 유지되도록 하기 위해 필요한 새로운 수렴 조건은 무엇인가?
• RQ3 강한 상호작용을 약한 상호작용으로 감소시킬 때 애너실라 큐비트와 상호작용 항의 오버헤드는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 새로운 가젯 구조가 기존의 3-Body에서 2-Body로의 축소 기법과 조합되어 일반적인 k-Body 상호작용을 약한 결합만으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 약한 상호작용 기반 가젯이 양자 복잡도 이론에 미치는 영향은 무엇인가? 예를 들어 QMA 난이도 및 갭 확대에 대한 영향은?

주요 결과

• 논문은 γ = O(1) 이며 오차 ε ≪ γ 이내로 목표 k-Body 해밀토니안을 근사하는 데에만 O(ε) 상호작용 강도를 사용하는 2-Body 섭동 가젯을 구성한다. 이는 O(ε⁻¹) 결합이 필요로 하는 것을 피한다.
• 가젯의 병렬 적용을 가능하게 하고 오차 급수가 기하급수적으로 수렴하도록 보장하는 섭동 급수의 새로운 수렴 조건이 확립되었다. 수렴 속도는 O(R⁻ᵈᐟ²)이다.
• 필요로 하는 애너실라 큐비트 총 수는 O(poly(ε⁻¹))로 스케일링되며, 상호작용 그래프의 최대 차수 D와 공간 차원 d에 따라 명시적인 경계가 존재한다.
• 입자당 상호작용 항의 수는 O(poly(ε⁻¹))로 스케일링되며, 가젯 해밀토니안의 총 상호작용 차수는 최악의 경우에도 다항식 O(poly(ε⁻¹))로 유지된다.
• 새로운 가젯을 기존의 3-Body에서 2-Body로의 축소 기법과 조합함으로써, 오직 약한 이중 상호작용만을 사용하여 k-Body 상호작용을 시뮬레이션할 수 있다.
• 저에너지 하위공간에서의 효과적인 해밀토니안은 O(ε) 오차 이내로 목표 해밀토니안을 근사하며, 오차는 기하급수 급수로 유한하게 수렴하며 충분히 큰 R에 대해 수렴한다.