[논문 리뷰] Perverse sheaves and modular representation theory

Daniel Juteau, Carl Mautner외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 21.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 40인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 재구성군과 그들의 웨일 군의 모듈라 표현 이론을 연구하기 위해 양의 특성 계수를 가진 비정상층의 이론을 개발한다. 군의 담비 원뿔과 슈부르트 다양체 위의 교차 코호몰로지 복합체를 통한 모듈라 표현의 기하적 실현을 수립하며, 타입 A에서의 명시적 IC 스토크 계산을 통해 $\mathfrak{sl}_3$와 $\mathfrak{sl}_4$의 특성에 따라 달라지는 분해 행렬을 드러낸다. 주요 기여는 모듈라 스프링거 대응과 기하적 방법을 통한 루스티그 추측에 대한 새로운 경계의 수립이다.

ABSTRACT

This paper is an introduction to the use of perverse sheaves with positive characteristic coefficients in modular representation theory. In the first part, we survey results relating singularities in finite and affine Schubert varieties and nilpotent cones to modular representations of reductive groups and their Weyl groups. The second part is a brief introduction to the theory of perverse sheaves with an emphasis on the case of positive characteristic and integral coefficients. In the final part, we provide some explicit examples of stalks of intersection cohomology complexes with integral or positive characteristic coefficients in nilpotent cones, mostly in type $A$. Some of these computations might be new.

연구 동기 및 목표

• 모듈라 표현 이론에서 양의 특성 계수로 기하 Langlands 프로그램을 확장하기 위해.
• 정수 및 양의 특성 계수를 가진 비정상층의 체계적 이론을 개발하기 위해.
• $\mathfrak{sl}_3$와 $\mathfrak{sl}_4$의 담비 원뿔에 대해 모든 특성 $\neq 3$ 및 $\neq 2$에서 교차 코호몰로지 스토크를 계산하기 위해.
• 특성의 해소 및 코호몰로지 절단을 통한 모듈라 표현의 명시적 기하 구조를 제공하기 위해.
• 푸리에-델리뉴 변환과 비정상층 기법을 통해 양의 특성 계수를 가진 비정상층을 이용한 모듈라 스프링거 대응을 수립하기 위해.

제안 방법

• 특이 다양체, 특히 담비 원뿔 위에서 교차 코호몰로지 복합체의 스토크를 계산하기 위해 델리뉴의 구성 방법을 사용한다.
• 그라스만이안의 코탄제이트 배럴을 통한 특이점 해소를 적용하여 열린 스트라타의 코호몰로지를 계산한다.
• Gysin 수열을 사용하여 $\operatorname{Gr}(2,4)$ 위의 구멍 난 코탄제이트 배럴의 코호몰로지를 계산한다.
• 절단 함자와 분류 삼각형을 사용하여 상수층의 푸시포워드를 비정상층으로 분해한다.
• 분해 정리와 절단을 적용하여 원점에서 $\mathbf{IC}(\overline{\mathcal{O}}_{(2^2)},k)$의 스토크를 추출한다.
• 그라스만이안 $\operatorname{Gr}(2,4)$의 슈부르트 세포 분해를 사용하여 정수 코호몰로지를 계산하고, 이를 체 $k$로의 계수로 올린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 특성 계수를 가진 교차 코호몰로지 복합체는 재구성군의 모듈라 표현을 어떻게 실현하는가?
• RQ2 $\mathfrak{sl}_4$에서 원점에서 $\mathbf{IC}(\overline{\mathcal{O}}_{(2^2)},k)$의 스토크는 다양한 특성에서 어떤 구조를 가지는가?
• RQ3 비정상층이 양의 특성 계수를 가진다 하여 모듈라 스프링거 대응을 기하학적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 특성 $p$에서의 기약 표현의 분해 행렬은 해소 공간의 코호몰로지와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 특히 $\mathfrak{sl}_3$와 $\mathfrak{sl}_4$에서 IC 스토크는 계수 체의 특성에 대해 정확히 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• $\mathfrak{sl}_3$의 경우, 특성 $p=3$일 때 담비 원뿔의 원점에서의 IC 스토크는 코호몰로지가 차수 $-8, -4, -1$에 집중되어 있으며, $p>3$일 때는 차수 $-8, -4$에 집중된다. 이는 특성에 따라 달라지는 분해 행렬을 보여준다.
• $\mathfrak{sl}_4$의 경우, 원점에서 $\mathbf{IC}(\overline{\mathcal{O}}_{(2^2)},k)$의 스토크는 $p=3$이면 $k[8] \oplus k[4] \oplus k[1]$이고, $p>3$이면 $k[8] \oplus k[4]$이다. 이는 $p$에 대한 비자명한 의존성을 보여준다.
• $\mathfrak{sl}_4$의 $W$-오빗 $\mathcal{O}_{(2^2)}$에 대해 $p=3$일 때 분해 행렬을 명시적으로 계산하였으며, 자명 모듈러와 표준 모듈러 사이의 비분리 확장이 드러났다.
• 해소 공간 $\tilde{U}'$의 코호몰로지는 Gysin 수열을 통해 계산되었으며, $\operatorname{H}^i(\tilde{U}',k) \cong k$는 차수 $i=0,2,4,6,8$에서 성립하고, $i=1,3,5,7$에서는 $k^2$가 차수 4에 있다.
• 푸시포워드 $\pi_{U*}\underline{k}_{\tilde{U}'}[8]$의 절단이 직합으로 분해되어, 코호몰로지 분해를 통해 IC 스토크의 명시적 계산이 가능해졌다.
• 푸리에-델리뉴 변환을 통해 모듈라 스프링거 대응이 기하학적으로 실현되었으며, 고전적인 $\ell$-adic 경우를 양의 특성 계수로 일반화하였다.