[논문 리뷰] Phase space for the Einstein equations

Robert Bartnik|ArXiv.org|2004. 02. 16.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 점 渐진적으로 평탄한 초기 자료의 위상공간에 대해 엄밀한 힐버트 다양체 프레임워크를 수립하며, 제약 다양체가 매끄러운 부분다양체임을 증명하고, ADM 에너지-운동량이 그 위에서 매끄럽다는 것을 보인다. 이 논문은 시간 이동에 점 渐진적으로 수렴하는 모든 래프스-시프트에 대해 올바른 진화 방정식을 생성하는 정규화된 해밀토니안을 도입하며, 제약 다양체 위에서 ADM 질량의 임계점이 정적 진공 시공간의 초기 자료와 정확히 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

A Hilbert manifold structure is described for the ADM phase space of asymptotically flat initial data $(g,π)$ with local $H^2 imes H^1$ Sobolev regularity. Solutions of the constraint equations form a Hilbert submanifold. A regularized RT Hamiltonian is defined and smooth on the full phase space and generates the Einstein evolution for any lapse-shift asymptotic to a (time) translation at infinity. Critical points for the total (ADM) mass, considered as a function on the Hilbert manifold of constraint solutions, arise precisely at initial data generating stationary vacuum spacetimes.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 점 渐진적으로 평탄한 초기 자료의 위상공간에 대해 엄밀한 힐버트 다양체 구조를 제공하는 것.
• 제약 다양체 위에서의 ADM 에너지-운동량과 해밀토니안의 매끄러움을 확립하고, 이를 전체 위상공간으로 확장하여 정규화된 형태로 만들기.
• 제약 다양체 위에서의 ADM 질량의 임계점을 정적 진공 시공간의 초기 자료와 연결지어 설명하는 것.
• 베르누아 공간으로의 라그랑주 승수 방법의 일반화를 통해 제약 조건이 붙은 에너지의 임계점이 칼링 초기 자료와 엄밀히 연결됨을 보이는 것.

제안 방법

• 점 渐진적으로 평탄한 초기 자료를 위한 위상공간 $\mathcal{F} = H^2 \times H^1$를 구성하고, 감쇠 조건을 도입한다.
• 선형화 안정성에 의해 $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$인 제약 집합 $\mathcal{C}$, 즉 $\Phi(g,\pi) = 0$으로 정의된 집합이 매끄러운 힐버트 부분다양체임을 증명한다.
• ADM 에너지-운동량을 $\mathcal{C}$ 위에서 매끄러운 $C^\infty$ 함수로 정의하지만, 전체 $\mathcal{F}$ 위에서는 유한하지 않음을 보인다.
• 정규화된 해밀토니안 $\mathcal{H}(g,\pi;\xi)$를 도입하여, 이는 $\mathcal{F}$ 위에서 매끄럽고, $\mathcal{C}$ 위에서는 Regge-Teitelboim 해밀토니안과 일치한다.
• 베르누아 공간에서의 일반화된 라그랑주 승수 방법을 사용하여, 정규화된 해밀토니안의 임계점이 칼링 초기 자료 방정식의 해와 연결됨을 보인다.
• 암시함수 정리를 적용하여 $\mathcal{C}$가 부분다양체임을 보장하고, 쌍대성을 이용하여 라그랑주 승수 $\lambda$의 존재를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아인슈타인 방정식에 대한 점 渐진적으로 평탄한 초기 자료의 위상공간에 힐버트 다양체 구조를 부여할 수 있는가?
• RQ2 제약 다양체 $\mathcal{C}$는 위상공간 $\mathcal{F}$의 매끄러운 부분다양체인가?
• RQ3 제약 다양체 위에서 시간 이동에 점 渐진적으로 수렴하는 래프스-시프트에 대해 올바른 진화 방정식을 생성하는 위상공간 $\mathcal{F}$ 위에 정규화된 해밀토니안을 정의할 수 있는가?
• RQ4 제약 다양체 $\mathcal{C}$ 위에서의 ADM 질량의 임계점은 정적 진공 시공간을 생성하는 초기 자료와 일치하는가?
• RQ5 에너지의 임계점과 칼링 초기 자료를 연결하는 브릴-데세르-페드 아이덴티티가 변분 방법을 통해 엄밀히 확립될 수 있는가?

주요 결과

• 제약 집합 $\mathcal{C}$는 힐버트 부분다양체로서, 정리 3.12에 의해 입증된다.
• ADM 에너지-운동량은 $\mathcal{C}$ 위에서 매끄러운 $C^\infty$ 함수이며, 정리 4.1에 의해 보여진다.
• 정규화된 해밀토니안 $\mathcal{H}(g,\pi;\xi)$는 $\mathcal{F}$ 위에서 $C^\infty$이며, 임의의 래프스-시프트 $\xi$가 시간 이동에 점 渐진적으로 수렴할 경우 올바른 진화 방정식을 생성한다. 이는 정리 5.2에 의해 보여진다.
• 제약 다양체 $\mathcal{C}$ 위에서의 ADM 질량의 임계점은 정확히 정적 진공 시공간을 생성하는 초기 자료와 일치한다. 이는 정리 6.1에 의해 증명된다.
• 베르누아 공간에서의 일반화된 라그랑주 승수 방법은, 정규화된 해밀토니안의 임계점이 $D\Phi(g,\pi)^*\xi = 0$의 해, 즉 칼링 초기 자료와 일치함을 확인한다.
• 브릴-데세르-페드 아이덴티티는 $Dm_{\text{ADM}}(g,\pi) = 0$가 $\mathcal{C}$ 위에서 성립할 때이고, 뿐만 아니라 $\xi_\infty$가 $({\mathbb{P}}^\alpha)$에 비례하는 일반화된 칼링 벡터장일 때에만 성립함을 보여, 엄밀히 확립된다.