[논문 리뷰] Plates with incompatible prestrain of higher order

Marta Lewicka, A. Raoult외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 30.

Advanced Materials and Mechanics참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 높은 차수의 비가역(prestrain)을 가진 얇은 판에서 스케일링된 탄성 에너지의 $\gamma$-극한을 규명하며, $E^h \sim h^4$의 영역에서 한계 에너지가 von Kármán 유사임을 보이고, 이는 첫째 순서의 무한소 등장이론과 $\mathbb{R}^3$로의 등장이론에 대한 $G_{2\times 2}$ prestrain 메트릭에 대한 허용 가능한 변형에 의존한다. 또한 $h^{-2}\inf E^h \to 0$이면 $h^{-4}\inf E^h$는 유계이며, $h^{-4}\inf E^h \to 0$이 되는 것은 $G$가 실현 가능할 때에만 성립함을 보이며, 이는 모든 $h$에 대해 $\min E^h = 0$임을 의미한다. 이는 이 스케일링 영역에서 von Kármán 모델이 유일한 비자명한 잔류이론임을 밝힌다.

ABSTRACT

We study the effective elastic behaviour of the incompatibly prestrained thin plates, characterized by a Riemann metric $G$ on the reference configuration. We assume that the prestrain is "weak", i.e. it induces scaling of the incompatible elastic energy $E^h$ of order less than $h^2$ in terms of the plate's thickness $h$. We essentially prove two results. First, we establish the $Γ$-limit of the scaled energies $h^{-4}E^h$ and show that it consists of a von Kármán-like energy, given in terms of the first order infinitesimal isometries and of the admissible strains on the surface isometrically immersing $G_{2 imes 2}$ (i.e. the prestrain metric on the midplate) in $\mathbb{R}^3$. Second, we prove that in the scaling regime $E^h\sim h^β$ with $β>2$, there is no other limiting theory: if $\inf h^{-2} E^h o 0$ then $\inf E^h\leq Ch^4$, and if $\inf h^{-4}E^h o 0$ then $G$ is realizable and hence $\min E^h = 0$ for every $h$.

연구 동기 및 목표

• 높은 차수의 비가역 prestrain을 가진 얇은 판의 효과적 탄성 거동을 특성화하는 것, 특히 탄성 에너지가 $E^h \sim h^4$로 스케일링될 때.
• 스케일링된 에너지 $h^{-4}E^h$의 $\gamma$-극한을 확립하고, 그 구조가 von Kármán 유사 기능임을 규명하는 것.
• 에너지가 $h^4$ 이하로 스케일링될 수 있는 필요 및 충분 조건을 규명하여, $h^{-4}\inf E^h \to 0$이 되는 것은 $\mathbb{R}^3$에서 prestrain 메트릭 $G$가 실현 가능할 때에만 성립함을 보이는 것.
• 조건 $\inf h^{-2}E^h \to 0$ 하에서 $E^h \sim h^\beta$ 이며 $\beta > 2$인 경우 von Kármán 모델 외에 다른 한계 이론이 존재하지 않음을 보이는 것.

제안 방법

• $h \to 0$일 때 스케일링된 에너지 $h^{-4}E^h$의 극한을 도출하기 위해 $\gamma$-수렴을 사용하는 것.
• prestrain 메트릭 $G_{2\times 2}$의 리만 곡률 텐서를 사용하여 비가역성을 특성화하기 위해 $E^h$의 하한을 도출하는 것.
• 단위 분할과 $SO(3)$ 내에서의 국소적 변형 및 변형률 필드에 의한 복구 수열을 구성하는 것.
• 변형률 행렬이 $SO(3)$에 남도록 보장하기 위해 $\mathbb{P}_{SO(3)}$의 투영을 적용하는 것.
• 반지름이 $h$와 $2h$인 구를 사용한 덮개 추론을 통해 국소화된 추정과 로테이션 필드의 $L^2$-노름을 제어하는 것.
• 국소 평균으로 구성된 로테이션 필드에 의해 변형률 행렬을 근사할 때의 오차를 추정하기 위해 가중치가 부여된 $L^2$-노름과 Poincaré 유형 부등식을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지가 $E^h \sim h^4$로 스케일링될 때 비가역 prestrain을 가진 얇은 판의 한계 탄성 에너지는 무엇인가?
• RQ2 스케일링된 에너지 $h^{-4}E^h$가 0으로 수렴하는 조건은 무엇이며, 이는 prestrain 메트릭 $G$에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ3 von Kármán 모델은 $E^h \sim h^\beta$ 이며 $\beta > 2$일 때 유일한 비자명한 한계 이론인가?
• RQ4 prestrain 메트릭 $G$의 곡률은 탄성 에너지의 스케일링과 비자명한 극한의 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 prestrain이 $\mathbb{R}^3$에서 실현 가능하지 않더라도 에너지가 $h^4$ 이하로 스케일링될 수 있는가?

주요 결과

• $h^{-4}E^h$의 $\gamma$-극한은 첫째 순서의 무한소 등장이론과 $\mathbb{R}^3$로의 등장이론에 대한 $G_{2\times 2}$ 메트릭에 대한 허용 가능한 변형에 의존하는 von Kármán 유사 에너지 기능이다.
• $\inf h^{-2}E^h \to 0$이면 $h^{-4}\inf E^h$는 유계이며, 이는 $E^h \sim h^4$가 비자명한 최소 스케일링임을 의미한다.
• $h^{-4}\inf E^h \to 0$이면 prestrain 메트릭 $G$는 $\mathbb{R}^3$에서 실현 가능하며, 모든 $h$에 대해 $\min E^h = 0$임을 의미한다.
• 반대로 $G$가 실현 가능하지 않다면 $\inf h^{-4}E^h > 0$이므로, 어떤 $C > 0$에 대해 $E^h \geq Ch^4$이며, von Kármán 모델은 유일한 비자명한 극한이다.
• $\beta > 2$인 $E^h \sim h^\beta$의 경우 von Kármán 모델 외에 다른 한계 이론은 존재하지 않으며, 유클리드 경우와는 달리 여러 스케일링이 서로 다른 모델을 생성하는 것과 대조된다.
• $G$의 곡률 텐서는 비가역성을 결정하며, 단면 곡률(두께 방향 포함 및 제외)이 동시에 0이 되는 것은 두 스케일링 영역을 특성화한다.