[논문 리뷰] Pleijel's theorem for Schrödinger operators with radial potentials

Philippe Charron, Bernard Helffer외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 28.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^d$에서 중심대칭 잠재력을 가진 슈뢰딩거 연산자에 대해 펠리젤의 정리를 확장한다. 고유값 인덱스에 대한 노드 도메인 수의 비율의 상한은 무한대에서 잠재력이 $+\infty$ 또는 0으로 수렴하는지 여부에 관계없이 항상 펠리젤의 상수 $γ(d)$로 유계이다. 이 결과는 웨일의 점근적 공식과 중심대칭 설정에 적응된 패브르-크라인 유형 부등식에 기반한다.

ABSTRACT

In 1956 $Å$. Pleijel gave his celebrated theorem showing that the inequality in Courant's theorem on the number of nodal domains is strict for large eigenvalues of the Laplacian. This was a consequence of a stronger result giving an asymptotic upper bound for the number of nodal domains of the eigenfunctions as the eigenvalues tend to $+\infty$. A similar question occurs naturally for Schr"\odinger operators. The first significant result has been obtained recently by the first author for the harmonic oscillator. The purpose of this paper is to consider more general potentials which are radial. We will analyze the case when the potential tends to $+\infty$ and the case when the potential is negative and tends to zero, where the considered eigenfucntion are associated to the eigenvalues below the essential spectrum.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역에서 딜리클레 라플라스 연산자에 대해 원래 제시된 펠리젤의 정리를 $ℝ^d$에서 중심대칭 잠재력을 가진 슈뢰딩거 연산자로 일반화하는 것.
• 본질 스펙트럼 이하의 고유값과 관련된 고유함수의 노드 도메인 수의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 고유값 인덱스에 대한 노드 도메인 수의 상한극한이 중심대칭 잠재력의 구체적 형태에 관계없이 항상 펠리젤의 상수 $γ(d)$로 유계임을 확립하는 것.
• 두 가지 별개의 경우를 다루는 것: 무한대에서 $+\infty$로 수렴하는 잠재력과 무한대에서 0으로 감소하는 잠재력이며, 적당한 연속성 및 단조성 조건을 가정한다.

제안 방법

• 고유값이 $\lambda$ 이하인 개수를 나타내는 $N(\lambda)$에 대해, 중심대칭 슈뢰딩거 연산자에 적합한 웨일의 점근적 공식을 적응하는 것.
• 잠재력 $V(x) = v(|x|)$의 중심대칭적 행동에 따라 $ℝ^d$를 링형 영역 $D_i(\lambda)$로 분할하고, $\nu(\lambda)$가 이러한 영역의 수를 제어하는 방식으로 설정하는 것.
• 각 영역에 대해 수정된 패브르-크라인 부등식을 적용하여 지역 잠재력의 체적과 스펙트럼 갭을 통해 노드 도메인 수를 유계화하는 것.
• 다른 영역에서의 노드 도메인 수를 제어하는 것: 원점 근처의 $D_{11}(\lambda)$ (잠재력이 특이성을 가질 수 있음), 중간 영역인 $D_{12}(\lambda)$, 그리고 $i \geq 2$인 외곽 영역 $D_i(\lambda)$.
• 각 영역이 총 노드 도메인 수에 기여하는 부분이 $W(\lambda)$—웨일 유형의 체적 항—에 비해 점근적으로 무시할 만큼 작다는 것을 보이는 것.
• 고유값 수 $N(\lambda)$와 $W(\lambda)$의 점근적 행동, 그리고 $N(\lambda_n) \leq n-1$이라는 사실을 이용하여 최종적인 상한극한 bound $\mu(\phi_n)/n \leq \gamma(d)$를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 펠리젤의 정리는 $ℝ^d$에서 중심대칭 잠재력을 가진 슈뢰딩거 연산자로 확장될 수 있는가?
• RQ2 고유값 인덱스에 대한 노드 도메인 수의 상한극한이 중심대칭 잠재력에 대해 여전히 펠리젤의 상수 $γ(d)$로 유계일까?
• RQ3 중심대칭 잠재력의 다양한 점근적 행동—무한대에서 $+\infty$로 수렴하거나 0으로 감소하는 경우—는 노드 도메인 성장에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 웨일의 점근적 공식과 패브르-크라인 부등식은 특이성이나 천천히 감소하는 중심대칭 잠재력을 다룰 수 있도록 적응될 수 있는가?
• RQ5 적당한 연속성 및 단조성 조건을 만족하는 한, 노드 도메인 수의 상한은 특정 중심대칭 잠재력에 의존하지 않는가?

주요 결과

• $\u211d^d$ ($d \geq 2$)에서 $V(x) = v(|x|)$를 가지며 $v \in C^1(0,\infty)$, 큰 $r$에서 $v' > 0$, 원점에서 적당한 특이성 제어 조건을 만족하는 중심대칭 슈뢰딩거 연산자 $H_V = -\Delta + V$에 대해, $n \to \infty$일 때 $\mu(\phi_n)/n$의 상한극한이 $\gamma(d)$로 유계임을 보였다.
• 적절한 점근적 조건 하에, 무한대에서 $v(r) \to +\infty$로 수렴하는 경우(Case A)와 $v(r) \to 0$으로 수렴하는 경우(Case B) 모두 결과가 성립한다.
• 상한 $\gamma(d)$는 중심대칭 잠재력 $V$에 독립적이며, 원래의 펠리젤 정리에서 라플라스 연산자에 대해 성립하는 것과 동일하다.
• 공간을 링형 영역으로 분할하고 국소적 패브르-크라인 유형 추정을 적용하는 방식으로 증명이 이루어지며, 각 영역의 기여가 점근적으로 지배적인 항보다 작다는 것이 입증되었다.
• $N(\lambda)$—$\lambda$ 이하의 고유값 수의 점근적 행동이 $N(\lambda) \sim W(\lambda)$를 만족함을 보였으며, 이는 최종 상한을 웨일 공식과 노드 도메인 수의 상한극한 제어로부터 도출할 수 있음을 허용한다.
• 모든 경우에서 핵심 부등식 $\mu(u_\lambda) \leq \gamma(d) N(\lambda) (1 + o(1))$이 $\lambda \to \infty$ 또는 $\lambda \to 0^-$일 때 성립하며, 이로부터 $\limsup_{n \to \infty} \mu(\phi_n)/n \leq \gamma(d)$라는 결론을 이끌어냈다.