[논문 리뷰] Pluricanonical systems of projective varieties of general type

Hajime Tsuji|ArXiv.org|1999. 09. 03.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 19인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 일반형인 매끄럽고 복소수 프로젝티브 $n$-fold $X$에 대해 모든 $m \geq \nu_n$일 때 $|mK_X|$가 유리다형 사상으로 주어진다 하는 조건을 만족시키는, 차원 $n$에만 의존하는 균일한 정수 $\nu_n$의 존재를 확립한다. 증명은 특이 헤르미트 메트릭과 $L^2$-확장 정리에 기반한 해석적 방법을 사용하며, 최소 모델 프로그램을 가정하지 않고 진행되며, 체적 $K_X^n \geq C_n$에 대한 균일한 하한을 확립하여 고차원 대상의 비라시onal 기하학에서의 기본 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We prove that there exists a positive integer $ν_{n}$ depending only on $n$ such that for every smooth projective $n$-fold of general type $X$ defined over {\bf C}, $\mid mK_{X}\mid$ gives a birational rational map from $X$ into a projective space for every $m\geq ν_{n}$. This theorem gives an affirmative answer to Severi's conjecture. The key ingredients of the proof are the theory of AZD which was originated by the aurhor and the subadjunction formula for AZD's of logcanoncial divisors.

연구 동기 및 목표

• 모든 매끄럽고 복소수 프로젝티브 $n$-fold $X$에 대해 모든 $m \geq \nu_n$일 때 $|mK_X|$가 유리다형 사상으로 주어진다 하는 균일한 정수 $\nu_n$를 찾는 기본 문제를 해결하기 위해.
• 모든 이러한 $X$에 대해 체적 $K_X^n$에 대한 균일한 하한 $C_n$을 확립하기 위해.
• 최소 모델 프로그램을 가정하지 않고, 승수 이상의 이상층과 $L^2$-확장 정리에 기반한 해석적 기법을 사용하여 이러한 결과를 증명하기 위해.
• 이러한 결과를 Severi-Iitaka 추측에 적용하여, $X$에서 일반형 다양체로의 전방향 유리다형 사상의 집합이 유한함을 증명하기 위해.

제안 방법

• canonical bundle $K_X$의 양성도를 제어하기 위해 해석적 Zariski 분해과 특이 헤르미트 메트릭(AZD)을 사용한다.
• 특이 메트릭을 가진 선다발에 대해 $L^2$-확장 정리를 적용하여 전역 섹션을 구성한다.
• canonical 메트릭의 특이성을 캐릭터라이즈하는 함수 $\Psi$를 구성하여 로그 캐논리컬 중심을 분석한다.
• 특이 메트릭에 대한 새로운 부분조정 정리를 도입하여 부분다양체의 캐논리컬 번들을 전체 다양체와 연결한다.
• Green 함수의 특이성에 기반한 $X \times X - \Delta_X$의 계층화를 통해 점들의 분리도를 제어한다.
• 계층화와 관련된 불변량 $\mu_i$와 $n_i$에 대한 경계를 통해 다중표준 사상의 차수를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 매끄럽고 복소수 프로젝티브 $n$-fold $X$에 대해 모든 $m \geq \nu_n$일 때 $|mK_X|$가 유리다형 사상으로 주어진다 하는 균일한 정수 $\nu_n$가 존재하는가?
• RQ2 모든 이러한 $X$에 대해 체적 $K_X^n$에 대한 균일한 하한 $C_n$을 확립할 수 있는가?
• RQ3 이러한 결과들은 최소 모델 프로그램을 가정하지 않고도 증명될 수 있는가?
• RQ4 Severi-Iitaka 추측은 참인가? 즉, $X$에서 일반형 다양체로의 전방향 유리다형 사상의 집합은 유한한가?
• RQ5 다양체 $X$를 전방향으로 커버하는 부분다양체의 가닥에서 $K_X$의 양성도는 어떻게 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 차원 $n$에만 의존하는 양의 정수 $\nu_n$가 존재하여, 모든 매끄럽고 복소수 프로젝티브 $n$-fold $X$에 대해 모든 $m \geq \nu_n$일 때 $|mK_X|$가 유리다형 사상으로 주어진다.
• 모든 이러한 $X$에 대해 $K_X^n \geq C_n$을 만족하는 양의 상수 $C_n$이 존재하여 체적에 대한 균일한 하한을 제공한다.
• 모든 $m \geq \nu_n$에 대해 다중표준 사상 $\Phi_{|mK_X|}$의 차수는 $C^n$ 이하로 유계이며, 여기서 $C$는 $n$에만 의존한다.
• 최소 모델 프로그램을 가정하지 않고, $L^2$-확장과 특이 메트릭에 기반한 해석적 방법에 의존하여 증명이 완료된다.
• Severi-Iitaka 추측은 참이다: $X$에서 일반형 다양체로의 전방향 유리다형 사상의 집합 $Sev(X)$는 유한하다.
• 이러한 결과들은 체적에 대한 균일한 하한의 존재와 동치이며, $\mu(X,K_X) = n! \cdot \varlimsup_{m \to \infty} m^{-n} \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X)) \geq C_n$으로 표현된다.