[논문 리뷰] POD-Galerkin Model Order Reduction for Parametrized Nonlinear Time Dependent Optimal Flow Control: an Application to Shallow Water Equations

Maria Strazzullo, Francesco Ballarin외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 21.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 72인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 난류 수심 방정식에 의해 지배되는 매개변수화된 비선형 시간에 의존하는 최적 제어 문제를 위한 POD-갈레르킨 축소 차원 모델(ROM)을 제안한다. 이는 빠르고 정확한 해 추적을 가능하게 한다. 전체 차원 최적성 조건계를 적절한 직교 분해를 통해 구성된 축소 공간에 투영함으로써, 정확도를 유지하면서도 계산 속도를 크게 향상시키는 방법이다. 수치 실험 사례에서 원하는 속도 및 수위 프로파일을 복원함으로써 성능이 입증되었다.

ABSTRACT

In this work we propose reduced order methods as a reliable strategy to efficiently solve parametrized optimal control problems governed by shallow waters equations in a solution tracking setting. The physical parametrized model we deal with is nonlinear and time dependent: this leads to very time consuming simulations which can be unbearable e.g. in a marine environmental monitoring plan application. Our aim is to show how reduced order modelling could help in studying different configurations and phenomena in a fast way. After building the optimality system, we rely on a POD-Galerkin reduction in order to solve the optimal control problem in a low dimensional reduced space. The presented theoretical framework is actually suited to general nonlinear time dependent optimal control problems. The proposed methodology is finally tested with a numerical experiment: the reduced optimal control problem governed by shallow waters equations reproduces the desired velocity and height profiles faster than the standard model, still remaining accurate.

연구 동기 및 목표

• coastal 해양 모델링에서 매개변수화된 비선형 시간에 의존하는 최적 제어 문제(OCPs)의 높은 계산 비용을 해결한다.
• 환경 및 해양 과학에서 핵심 모델인 매개변수화된 얕은 수심 방정식(SWEs)에 대한 해 추적을 위한 축소 차원 모델(ROM)을 개발한다.
• 안정점 구조를 가지며 비첨가성 항을 포함하는 비선형, 시간에 의존하는 OCP의 축소 과정에서 발생하는 과제를 해결한다.
• 실시간 응용을 위한 해양 환경 모니터링에서 다수의 매개변수 설정을 신속하고 신뢰성 있게 시뮬레이션할 수 있도록 한다.
• SWEs를 초월하여 다른 매개변수화된 비선형 시간에 의존하는 OCP에 일반적으로 적용 가능한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 2차 비용 함수를 갖는 얕은 수심 방정식(SWEs)에 의해 지배되는 매개변수화된 최적 제어 문제를 수립한다.
• 공간-시간 유한요소 방법을 사용하여 문제를 이산화함으로써, 안정점 구조를 가지는 대규모 선형 시스템을 도출한다.
• 적절한 직교 분해(POD)를 적용하여 전체 차원 모델의 스냅샷 해로부터 축소 차원 기저를 생성한다.
• 상태, 양변, 제어 변수에 대한 통합된 축소 공간을 구성하여 축소 최적성 조건계의 해가 존재하도록 보장한다.
• 전체 차원 최적성 조건계에 갈레르킨 투영을 적용하여 축소 차원 시스템을 유도하며, 안정점 구조를 유지한다.
• 비첨가성 비선형 항을 축소된 맥락에서 효율적으로 처리하기 위해 첨가성 분해를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수화된 비선형 시간에 의존하는 최적 제어 문제를 얕은 수심 방정식에 대해 효과적으로 축소 차원 모델(POD-갈레르킨 ROM)이 계산 비용을 줄일 수 있는가?
• RQ2 해양 환경 응용에서 해 추적 시 정확도를 유지하면서도 상당한 속도 향상을 달성할 수 있는 축소 차원 모델은 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 통합된 축소 공간이 축소 최적성 조건계의 해가 존재하고 안정성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 매개변수 변화에 따라 원하는 속도 및 수위 프로파일을 회복하는 데에 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 제안된 ROM 프레임워크는 SWEs를 초월하여 다른 비선형 시간에 의존하는 PDE 제약 최적 제어 문제에 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 축소 차원 모델은 전체 차원 모델의 원하는 속도 및 수위 프로파일을 매우 높은 정확도로 재현하였다.
• 축소 최적 제어 문제를 푸는 데 소요되는 계산 시간은 전체 차원 모델보다 상당히 낮아, 다수의 매개변수 설정을 빠르게 시뮬레이션할 수 있게 되었다.
• 통합된 축소 공간의 사용은 축소 최적성 조건계가 안정점 형태로 해가 존재하도록 보장하였다.
• 축소 과정 후에도 전체 차원 시스템의 안정점 구조를 유지하였으며, 이는 안정성과 수렴성에 매우 중요하다.
• 이 ROM 프레임워크는 비선형, 시간에 의존하며 매개변수화된 PDE 제약 최적 제어 문제에 효과적이며, 정적인 또는 선형 사례를 초월한다.
• 수치 실험 결과, 축소 모델는 계산 비용을 극적으로 줄이면서도 정확도를 유지함을 확인하였으며, 실시간 환경 모니터링 응용에 적합하다.