[논문 리뷰] Pointwise ergodic theorems in symmetric spaces of measurable functions

Vladimir Chilin, Doğan Çömez외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 17.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 1이 공간에 속하지 않는 무한 측도 공간에서 가측 함수의 완전 대칭 공간에서 Dunford-Schwartz 연산자의 점별 에르고딕 정리들을 수립한다. 전통적 및 가중 에르고딕 평균의 거의 everywhere 수렴을 증명하며, Lorentz 및 Orlicz 공간 기법을 사용하여 Dunford-Schwartz 및 Wiener-Wintner 정리를 이보다 더 넓은 대칭 공간 클래스로 확장한다. 수렴은 유계 Besicovitch 수열과 함수 f∈E에서 성립한다.

ABSTRACT

For a Dunford-Schwartz operator in a fully symmetric space of measurable functions of an arbitrary measure space, we prove pointwise convergence of the conventional and weighted ergodic averages.

연구 동기 및 목표

• 무한 측도 공간에서 가측 함수의 완전 대칭 공간으로 고전적 Dunford-Schwartz 점별 에르고딕 정리의 확장을 이루는 것.
• 특히 유계 Besicovitch 수열에 대해 이러한 공간에서 가중 에르고딕 평균의 수렴을 확립하는 것.
• 특히 1이 공간의 원소가 아닌 경우, Wiener-Wintner 에르고딕 정리를 완전 대칭 공간으로 일반화하는 것.
• 1∉E인 완전 대칭 공간의 클래스가 1≤p<∞에 대해 L^p 공간의 클래스보다 엄밀히 더 크다는 것을 보여주는 것.
• σ-유한 측도에 대한 Return Times 정리를 활용하여, 피카르 성질을 갖는 대칭 공간의 맥락에서 수렴 결과를 증명하는 것.

제안 방법

• 비감소 재정렬 μ_t(f)와 하위주도성(g≺≺f) 개념을 사용하여 완전 대칭 공간을 정의하는 데 사용.
• 대칭 공간에서의 피카르 성질을 활용하여 측도 위상 t_μ에서 단위 구의 닫힘을 보장하는 데 사용.
• σ-유한 측도 공간에 대한 Return Times 정리를 적용하여 궤도 沿해 평균의 수렴을 도출하는 데 사용.
• 절대 수축이 이 설정에서 Dunford-Schwartz 연산자와 일치함을 보여, 문제를 실수값 함수로 환원하는 데 사용.
• 유계 Besicovitch 수열을 삼각 다항식으로 근사하여 가중 평균 간의 차이를 제어하는 데 사용.
• 1∉E인 완전 대칭 공간의 모델로 함수 f에 대해 μ_t(f)→0 (t→∞)인 공간 R_μ를 사용하며, 이러한 공간이 R_μ에 포함됨을 증명하는 데 사용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 함수 1이 공간에 속하지 않는 가측 함수의 완전 대칭 공간으로 Dunford-Schwartz 점별 에르고딕 정리가 확장될 수 있는가?
• RQ2 유계 Besicovitch 수열이 이러한 대칭 공간에서 가중 에르고딕 평균이 거의 모든 곳에서 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 1∉E인 완전 대칭 공간에서 Wiener-Wintner 에르고딕 정리가 성립하는가? 그리고 어떤 종류의 가중치에 대해 성립하는가?
• RQ4 특히 피카르 성질과 하위주도성과 같은 대칭 공간의 성질이 L^p 공간을 초월하여 에르고딕 정리의 확장을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 측도 위상 t_μ는 완전 대칭 공간에서 에르고딕 평균의 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 1∉E인 완전 대칭 공간 E와 σ-유한 측도 공간에서의 Dunford-Schwartz 연산자 T에 대해, 모든 f∈E에 대해 (1/n)∑_{k=0}^{n-1} T^k f가 거의 모든 곳에서 수렴한다.
• 수렴은 모든 유계 Besicovitch 수열 {b_k}에 대해 성립하며, 이는 1∉E인 완전 대칭 공간으로 Wiener-Wintner 정리를 확장하는 것이다.
• f∈L^1(Ω)∩L^∞(Ω)이면, 임의의 유계 Besicovitch 수열 {b_k}에 대해 가중 에르고딕 평균이 거의 모든 곳에서 수렴하며, 이 결과는 f∈R_μ에 대해 근사에 의해 확장된다.
• 공간 R_μ는 1∉R_μ인 완전 대칭 공간이며, L^1∩L^∞의 L^1+L^∞에서의 폐포이므로, 정리에 대한 자연스러운 예시 클래스를 제공한다.
• f∈E 이고 1∉E 이면, 모든 유계 Besicovitch 수열 {b_k}에 대해 (1/n)∑_{k=0}^{n-1} b_k f(τ^k(ω))가 모든 ω∈Ω_f 에서 수렴하는 전측도 집합 Ω_f 가 존재한다.
• 증명은 삼각 다항식에 의한 근사와 b_k와 그 근사 간의 차이에 대한 균일한 통제에 기반하며, 이로 인해 오차 bound가 ε·||f||_∞ 비례하게 되고, ε→0일 때 이를 제거할 수 있다.