[论文解读] Poisson CNN: Convolutional Neural Networks for the Solution of the Poisson Equation with Varying Meshes and Dirichlet Boundary Conditions

Ali Girayhan Özbay, Sylvain Laizet+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 8被引用 15

一句话总结

该论文提出Poisson CNN，一种全卷积神经网络，通过将问题分解为齐次Poisson方程和四个非齐次Laplace子问题，实现对具有可变网格和Dirichlet边界条件的2D Poisson方程的求解。该模型在解析测试案例上实现了15%的平均百分比误差，并能泛化到训练过程中未见过的更密集网格，显示出在计算流体动力学中加速大规模Poisson方程求解的潜力。

ABSTRACT

The Poisson equation is commonly encountered in engineering, including in computational fluid dynamics where it is needed to compute corrections to the pressure field. We propose a novel fully convolutional neural network (CNN) architecture to infer the solution of the Poisson equation on a 2D Cartesian grid of varying size and spacing given the right hand side term, arbitrary Dirichlet boundary conditions and grid parameters which provides unprecendented versatility in this application. The boundary conditions are handled using a novel approach by decomposing the original Poisson problem into a homogeneous Poisson problem plus four inhomogeneous Laplace sub-problems. The model is trained using a novel loss function approximating the continuous $L^p$ norm between the prediction and the target. Analytical test cases indicate that our CNN architecture is capable of predicting the correct solution of a Poisson problem with mean percentage errors of 15% and promises improvements in wall-clock runtimes for large problems. Furthermore, even when predicting on meshes denser than previously encountered, our model demonstrates encouraging capacity to reproduce the correct solution profile.

研究动机与目标

• 开发一种深度学习模型，以在具有任意网格尺寸和间距的可变2D笛卡尔网格上高效求解Poisson方程。
• 以一种在不需为每个新配置重新训练的情况下保持解精度的方式处理复杂的Dirichlet边界条件。
• 实现在大规模问题上相对于传统数值求解器具有潜在壁时钟加速效果的快速推理。
• 设计一种损失函数，以近似连续的$L^p$范数，从而提升泛化能力和解的保真度。

提出的方法

• 将原始Poisson问题分解为齐次Poisson问题和四个非齐次Laplace子问题，以隔离边界效应。
• 采用全卷积神经网络（CNN）架构，处理包括右端项、边界条件和网格参数在内的输入特征。
• 采用一种新颖的损失函数，近似预测解与真实解之间的连续$L^p$范数，以提升解的准确性。
• 在具有多样化网格配置和边界条件的合成解析测试案例上训练模型，以提升泛化能力。
• 将网格参数（如尺寸、间距）作为输入特征，以实现在未见网格分辨率上的零样本推理。
• 采用边界条件编码方法，使网络能够独立于网格结构学习Dirichlet数据的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 深度学习模型是否能无需重新训练，泛化到具有不同尺寸和间距的2D网格上求解Poisson方程？
• RQ2 当在比训练集中更密集的网格上测试时，CNN模型预测Poisson方程解的准确度如何？
• RQ3 将Poisson问题分解为Laplace子问题的策略是否能提升解的保真度和泛化能力？
• RQ4 与标准离散损失函数相比，基于连续$L^p$-范数的损失函数在多大程度上提升了解的准确性？

主要发现

• Poisson CNN模型在解析测试案例上实现了15%的平均百分比误差，表明其对Poisson方程具有强大的预测准确性。
• 该模型能有效泛化到训练过程中未见的更密集网格，成功重现了正确的解分布。
• 将问题分解为齐次与非齐次子问题的策略，使不同配置下Dirichlet边界条件的处理更加准确。
• 基于$L^p$-范数的新损失函数通过更好地逼近底层PDE的连续性，提升了解的保真度。
• 该模型在大规模Poisson方程求解中展现出壁时钟加速的潜力，尤其在计算流体动力学等应用中。
• 该架构在不同网格参数下保持性能，表现出对网格异质性的鲁棒性，且无需重新训练。