[논문 리뷰] Polish spaces of Banach spaces. Complexity of isometry classes and generic properties.

Marek Cúth, Martin Doležal외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 09.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유리수 벡터 공간 위의 노름과 준노름을 통해 분리 가능한 바나흐 공간의 천연 폴란드 공간을 도입하고 분석하며, 고데프루아와 세인트레몽의 적합한 위상과의 Borel 복잡도를 비교한다. 이는 무한차원 힐버트 공간의 등장이 유일하게 닫혀 있는 등장임을 증명하고, $L_p[0,1]$ 및 $\

ABSTRACT

We present and thoroughly study natural Polish spaces of separable Banach spaces. These spaces are defined as spaces of norms, resp. pseudonorms on the countable infinite-dimensional rational vector space. We provide an exhaustive comparison of these spaces with the admissible topologies recently introduced by Godefroy and Saint-Raymond and show that Borel complexities differ little with respect to these two different topological approaches. We then focus mainly on the Borel complexities of isometry classes of the most classical Banach spaces. We prove that the infinite-dimensional Hilbert space is characterized as the unique separable infinite-dimensional Banach space whose isometry class is closed, and also as the unique separable infinite-dimensional Banach space whose isomorphism class is $F_\sigma$. For $p\in\left[1,2 ight)\cup\left(2,\infty ight)$, we show that the isometry classes of $L_p[0,1]$ and $\ell_p$ are $G_\delta$-complete and $F_{\sigma\delta}$-complete, respectively. Then we show that the isometry class of the Gurari\ui space is $G_\delta$-complete and the isometry class of $c_0$ is $F_{\sigma\delta}$-complete. The isometry class of the former space is moreover proved to be dense $G_\delta$. Additionally, we compute the complexities of many other natural classes of Banach spaces; for instance, $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-spaces, for $p,\lambda\geq 1$, are shown to be $G_\delta$, superreflexive spaces are shown to be $F_{\sigma\delta}$, and spaces with local $\Pi$-basis structure are shown to be $\boldsymbol{\Sigma}^0_6$. The paper is concluded with many open problems and suggestions for a future research.

연구 동기 및 목표

• 분리 가능한 바나흐 공간의 천연 폴란드 공간을 유계 유리수 벡터 공간 위의 노름과 준노름을 사용하여 정의하고 연구하는 것.
• 이 공간들의 Borel 복잡도를 고데프루아와 세인트레몽이 도입한 적합한 위상과 비교하는 것.
• 클래식한 바나흐 공간들인 $L_p[0,1]$, $\ell_p$, $c_0$, 그리고 구라리이 공간의 등장의 Borel 복잡도를 규명하는 것.
• 더 넓은 범주인 $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-공간, 초반사공간, 국소 $\Pi$-기저를 갖는 공간 등 바나흐 공간의 범주에 대한 Borel 복잡도를 계산하는 것.
• 일반적인 성질과 조밀한 $G_\delta$ 등장, 특히 구라리이 공간에 대해 규명하는 것.

제안 방법

• 가산 밀도 유리수 벡터 공간 $\mathbb{Q}^{(\mathbb{N})}$ 위의 노름과 준노름으로 구성된 폴란드 공간을 정의하여, 분리 가능한 바나흐 공간의 매개변수 공간으로 활용하는 것.
• 술어 집합 이론을 사용하여 이러한 폴란드 공간 내 등장의 Borel 복잡도를 분석하는 것.
• 노름 기반 위상에서 유도된 Borel 복잡도와 고데프루아 및 세인트레몽의 적합한 위상에서 유도된 복잡도를 비교하는 것.
• 계층 분류인 $\boldsymbol{\Sigma}^0_6$, $F_{\sigma\delta}$, $G_\delta$, $F_\sigma$ 등을 적용하여 특정 등장의 복잡도를 특성화하는 것.
• 힐버트 공간의 등장이 오직 하나의 닫힌 등장임을 증명하고, 구라리이 공간의 등장이 조밀한 $G_\delta$임을 규명하는 것.
• 국소 $\Pi$-기저 및 초반사성 등의 바나흐 공간의 구조적 성질을 활용하여 복잡도의 상한을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 힐버트 공간의 등장은 분리 가능한 바나흐 공간의 폴란드 공간 내에서 어떤 Borel 복잡도를 갖는가?
• RQ2 $p \in [1,2) \cup (2,\infty)$ 범위에서 $L_p[0,1]$ 및 $\ell_p$ 공간의 등장의 Borel 복잡도는 어떻게 비교되는가?
• RQ3 구라리이 공간의 등장은 $G_\delta$-완전한가? 그리고 분리 가능한 바나흐 공간의 폴란드 공간 내에서 조밀한 $G_\delta$인가?
• RQ4 $c_0$의 등장은 어떤 Borel 복잡도를 가지며, 다른 고전적 공간들과 비교해보면 어떠한가?
• RQ5 $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-공간, 초반사공간, 국소 $\Pi$-기저를 갖는 공간과 같은 더 넓은 범주들의 Borel 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 무한차원 힐버트 공간의 등장은 폴란드 공간 내에서 오직 하나의 닫힌 등장인 분리 가능한 무한차원 바나흐 공간임을 증명한다.
• $p \in [1,2) \cup (2,\infty)$ 범위에서 $L_p[0,1]$ 및 $\ell_p$의 등장은 각각 $G_\delta$-완전성과 $F_{\sigma\delta}$-완전성을 갖는다.
• 구라리이 공간의 등장은 $G_\delta$-완전성이며, 동시에 분리 가능한 바나흐 공간의 폴란드 공간 내에서 조밀한 $G_\delta$이다.
• $c_0$의 등장은 $F_{\sigma\delta}$-완전성으로, $p \neq 2$일 때 $L_p$ 또는 $\ell_p$보다 더 높은 수준의 Borel 복잡도를 나타낸다.
• $p,\lambda \geq 1$인 $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-공간의 등장은 $G_\delta$로, 비교적 낮은 복잡도를 나타낸다.
• 국소 $\Pi$-기저를 갖는 공간은 복잡도 $\boldsymbol{\Sigma}^0_6$를 가지며, Borel 계층의 높은 수준이지만 명확한 수준에 속한다.