[논문 리뷰] Polyconvex Model for Materials with Cubic Anisotropy

Nayden Kambouchev, Javier Fernández외 1명|arXiv (Cornell University)|2005. 05. 07.

Elasticity and Material Modeling참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단일 제4계 구조 텐서를 사용하여 입방 대칭성을 갖는 초탄성 재료의 다각형 볼록성 응력 에너지 함수를 제안한다. 이 프레임워크는 다각형 볼록성에 의해 수학적 해의 존재를 보장하면서도, 비대칭 하중 조건 하에서 비대칭 변형 및 전단 응력과 같은 물리적으로 타당한 방향성 반응을 재현한다.

ABSTRACT

Polyconvexity is one of the known conditions which guarantee existence of solutions of boundary value problems in finite elasticity. In this work we propose a framework for development of polyconvex strain energy functions for hyperelastic materials with cubic anisotropy. The anisotropy is captured by a single fourth order structural tensor for which the minimal polynomial basis is identified and used for the formulation of the strain energy functions. After proving the polyconvexity of some polynomial terms, we proceed to propose a model based on a simple strain energy function. We investigate the behavior of the model analytically in one dimension and numerically in two and three dimensions. These investigations allow us conclude that the model possesses the physically relevant directional properties, in particular, strains in different directions are different and the lack of any loading symmetries leads to development of ``shear'' stresses and displacements.

연구 동기 및 목표

• 입방 대칭성을 갖는 초탄성 재료를 위한 수학적으로 일관된 다각형 볼록 응력 에너지 함수를 개발하기 위해.
• 다각형 볼록성 조건을 강제 적용하여 유한 탄성에서 해의 존재를 보장하는 것으로, 쿼asi-볼록성보다 더 강한 조건을 확보하기 위해.
• 단일 제4계 구조 텐서에서 유도된 최소한의 불변량 집합을 사용하여 입방 결정 대칭성을 모델링하기 위해.
• 일차원, 이차원 및 삼차원에서의 분석적 및 수치적 연구를 통해 모델의 물리적 일관성을 검증하기 위해.
• 모델이 대칭 하중 조건이 없을 경우에도 비대칭 변형 및 전단 응력과 같은 방향성 기계적 거동을 포괄할 수 있는지 입증하기 위해.

제안 방법

• 입방 대칭군을 표현하기 위해 제4계 구조 텐서를 사용하여 응력 에너지 함수의 불변 표현을 가능하게 한다.
• 구조 텐서의 최소 다항식 기저를 활용하여 응력 에너지 함수의 독립 불변량을 식별한다.
• 편미분 변형도와 구조 텐서의 불변량을 기반으로 다항식 응력 에너지 함수를 구성한다.
• 헤시안 분석을 통해 개별 다항식 항의 볼록성을 검증함으로써 다각형 볼록성 개념을 적용한다.
• 불변성 및 합리적인 구성 모델링을 보장하기 위해 텐서 함수 표현 및 정합성 기저 이론을 활용한다.
• 케일리-암브리지 정리와 특성 다항식을 활용하여 구조 텐서에 대한 대수적 항등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입방 대칭성을 갖는 재료에 대해 다각형 볼록 응력 에너지 함수를 체계적으로 구성할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 유한 탄성에서 입방 결정의 기계적 거동을 표현하기 위해 필요한 최소한의 불변량 집합은 무엇인가?
• RQ3 제안된 모델은 비대칭 변형 및 전단 응력과 같은 물리적으로 현실적인 방향성 거동을 재현하는가?
• RQ4 응력 에너지 함수의 다항식 항들에 대해 다각형 볼록성 조건을 국소적으로 검증할 수 있는가?
• RQ5 비대칭 하중 조건 하에서 1차원에서는 분석적으로, 2차원 및 3차원에서는 수치적으로 모델의 예측 결과는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 모델은 동일한 하중 조건 하에서도 다양한 재료 방향에서 다른 변형을 잘 포착한다.
• 하중 대칭성이 없을 경우 전단 응력과 변위가 발생하며, 물리적 기대와 일치한다.
• 핵심 다항식 항들의 헤시안 행렬이 양의 정부호임을 검증함으로써 응력 에너지 함수의 다각형 볼록성이 확립된다.
• 모델은 수학적으로 잘 정의되어 있어, 유한 탄성에서 경계값 문제의 해 존재를 보장한다.
• 단일 제4계 구조 텐서의 사용은 입방 대칭성을 간결하고 대칭적인 방식으로 표현할 수 있게 한다.
• 2차원 및 3차원 수치 시뮬레이션은 모델이 대칭 제약 없이 복잡한 비대칭 변형 패tern을 잘 재현할 수 있음을 확인한다.