[논문 리뷰] Polynomial Threshold Functions: Structure, Approximation and Pseudorandomness

Ido Ben‐Eliezer, Shachar Lovett외 1명|ArXiv.org|2009. 11. 18.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 15인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 저차수 다항식 임계함수(Polynomial Threshold Functions, PTFs)의 근사화와 허위난수성에 대한 기본 한계를 설정한다. 저자는 저차수 PTFs가 소수의 선형 함수에 의존할 경우 k-번재 독립성에 의해 속임을 당기지 못하도록 증명하며, 많은 영향력이 있는 변수를 가진 함수는 낮은 차수의 PTFs로 잘 근사될 수 없음을 보이며, 근사이론과 초수축성 도구를 통해 MODm 및 F2-다항식과 같은 함수에 대해 날카로운 경계를 제공한다.

ABSTRACT

We study the computational power of polynomial threshold functions, that is, threshold functions of real polynomials over the boolean cube. We provide two new results bounding the computational power of this model. Our first result shows that low-degree polynomial threshold functions cannot approximate any function with many influential variables. We provide a couple of examples where this technique yields tight approximation bounds. Our second result relates to constructing pseudorandom generators fooling low-degree polynomial threshold functions. This problem has received attention recently, where Diakonikolas et al proved that $k$-wise independence suffices to fool linear threshold functions. We prove that any low-degree polynomial threshold function, which can be represented as a function of a small number of linear threshold functions, can also be fooled by $k$-wise independence. We view this as an important step towards fooling general polynomial threshold functions, and we discuss a plausible approach achieving this goal based on our techniques. Our results combine tools from real approximation theory, hyper-contractive inequalities and probabilistic methods. In particular, we develop several new tools in approximation theory which may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 저차수 다항식 임계함수(PTFs)의 근사화와 허위난수성 측면에서 그 계산적 능력을 이해하기 위해.
• 특히 소수의 선형 함수에 기반한 PTFs가 k-번재 독립 분포에 의해 속임을 입는지 여부를 결정하기 위해.
• 많은 영향력이 있는 변수를 가진 함수에 대해 PTF의 근사 오차에 하한을 설정하기 위해.
• 불리언 큐브에서 PTF의 행동을 분석하기 위한 새로운 도구를 개발하기 위해, 실근사이론 분야에서.

제안 방법

• 유계 영역에서 다변수 다항식의 부호를 근사하는 리프시츠 함수를 구성하기 위해 근사이론을 사용한다.
• 꼬리 확률을 균일 분포 및 k-번재 독립 분포 하에서 선형 함수의 모멘트 및 초수축성 부등식을 적용하여 제어한다.
• 원하는 오차 및 리프시츠 상수에 따라 차수에 따라 변하는 유계 영역에서 부호 함수의 다항식 근사를 수행한다.
• 큰 선형 함수 값에 대응하기 위해 잘라내기 추론을 도입하며, 모멘트 생성 함수를 통해 오차를 제어한다.
• 합집합 추론과 농도 불등식을 조합하여 어떤 선형 함수도 임계값 A를 초과할 확률을 제어한다.
• PTFs가 소수의 선형 함수의 함수로 구성되어 있음을 활용하여 문제를 유계 영역에서의 저차원 다항식 분석으로 축소한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수의 선형 함수에 의존하는 k-번재 독립성이 다항식 임계함수를 속임을 당길 수 있는가?
• RQ2 많은 영향력이 있는 변수를 가진 부울 함수를 근사하기 위해 필요한 최소 차수의 PTF는 무엇인가?
• RQ3 MODm 또는 F2-다항식과 같은 함수를 저차수 PTFs가 얼마나 잘 근사할 수 있는가?
• RQ4 불리언 큐브에서 PTF의 행동을 분석하기 위해 근사이론 분야에서 새로운 도구를 개발할 수 있는가?
• RQ5 PTF의 차수와 높은 영향력 변수를 가진 함수를 근사할 능력 사이의 상호 교환 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 차수 d의 PTF가 m개의 선형 함수의 함수인 경우, k-번재 독립성에 의해 ε-속임을 입히는 데 k = exp(O(d/ε)^d) + poly((log m · d/ε)^d, m, wt(p))가 필요하다.
• 적어도 n^α개의 영향력 있는 변수를 가진 함수는 차수 d의 PTF로 오차가 1 - τ/2 + O(d/(α log n)^{1/8d}) 이하로 근사될 수 없으며, 여기서 τ는 최소 영향력을 의미한다.
• d ≤ O(log log n / log log log n)일 경우 MODm 함수는 저차수 PTFs로 근사될 수 없으며, 근사 오차는 최대 1 - 1/2 + o(1)이다.
• 차수 d의 F2-다항식은 동일한 차수 제약 조건 하에서 저차수 PTFs로 1/2 + o(1)의 단순한 경계 이하로 근사될 수 없다.
• 큰 값에서 g(x)의 |g(x)|^{cA} 기댓값을 제어할 수 있는 새로운 근사이론적 도구를 제안하며, 이는 허위난수성 증명에서 꼬리 제어를 가능하게 한다.
• 선형 함수가 임계값 A를 초과하는 꼬리 영역에서의 오차는 A = Ω(φ(ε) ln φ(ε))일 때 ε/10 이하로 제한된다. 여기서 φ(ε)는 m, d, ε에 따라 달라진다.