[论文解读] Polynomial-Time Approximation Schemes for k-Center and Bounded-Capacity Vehicle Routing in Metrics with Bounded Highway Dimension.

Amariah Becker, Philip N. Klein+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Facility Location and Emergency Management参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出了一类多项式时间近似方案（PTAS），用于在有界高速公路维度的图中解决 k-Center、k-Median 及有容量限制的车辆路径问题。通过将此类图嵌入到具有可控加法畸变的低树宽结构中，作者使这些 NP-难问题的高效近似算法成为可能，该方法进一步扩展至多 depot 情况及未访问客户所面临的惩罚情形。

ABSTRACT

The concept of bounded highway dimension was developed to capture observed properties of the metrics of road networks. We show that a graph with bounded highway dimension, for any vertex, can be embedded into a a graph of bounded treewidth in such a way that the distance between $u$ and $v$ is preserved up to an additive error of $\epsilon$ times the distance from $u$ or $v$ to the selected vertex. We show that this theorem yields a PTAS for Bounded-Capacity Vehicle Routing in graphs of bounded highway dimension. In this problem, the input specifies a depot and a set of clients, each with a location and demand; the output is a set of depot-to-depot tours, where each client is visited by some tour and each tour covers at most $Q$ units of client demand. Our PTAS can be extended to handle penalties for unvisited clients. We extend this embedding result to handle a set $S$ of distinguished vertices. The treewidth depends on $|S|$, and the distance between $u$ and $v$ is preserved up to an additive error of $\epsilon$ times the distance from $u$ and $v$ to $S$. This embedding result implies a PTAS for Multiple Depot Bounded-Capacity Vehicle Routing: the tours can go from one depot to another. The embedding result also implies that, for fixed $k$, there is a PTAS for $k$-Center in graphs of bounded highway dimension. In this problem, the goal is to minimize $d$ such that there exist $k$ vertices (the centers) such that every vertex is within distance $d$ of some center. Similarly, for fixed $k$, there is a PTAS for $k$-Median in graphs of bounded highway dimension. In this problem, the goal is to minimize the sum of distances to the $k$ centers.

研究动机与目标

• 为具有有界高速公路维度的路网类图中的基础网络优化问题——k-Center、k-Median 及有容量限制的车辆路径问题——设计高效的近似算法。
• 通过利用有界高速公路维度度量的结构特性，解决在一般情况下为 NP-难问题的多项式时间近似方案（PTAS）设计挑战。
• 将现有技术扩展至处理车辆路径问题中的多 depot 情况及未访问客户所面临的惩罚，从而扩大其在现实物流场景中的适用性。
• 建立一种通用的嵌入框架，该框架以至多与一组特殊顶点的距离相关的加法误差来保持距离，从而支持动态且灵活的算法设计。

提出的方法

• 提出一种新颖的嵌入技术，将有界高速公路维度的图映射为树宽有界的图，使得任意两点间的距离最多存在 ε 倍于任一顶点到选定中心顶点距离的加法误差。
• 利用该嵌入技术，将原问题简化为等价的低树宽图上的实例，从而可在其上高效应用动态规划以实现 PTAS。
• 将该嵌入方法扩展至处理一组特殊顶点 S（例如 depot 或中心点），其中距离保持性依赖于到 S 的距离，从而支持多 depot 及 k-Center 变体。
• 利用基于树宽的结构设计动态规划算法，对固定 k 的 k-Center 和 k-Median 问题计算近似最优解。
• 通过修改目标函数以考虑未访问客户带来的惩罚，将惩罚项整合进车辆路径问题的公式中，同时通过相同的嵌入框架保持 PTAS 保证。
• 证明距离保持中的加法误差被限制在 ε 倍于到所选集合中最近顶点的距离以内，从而确保所有问题变体的近似质量得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否针对具有有界高速公路维度的图中的 k-Center 问题设计出 PTAS，利用真实道路网络的结构特性？
• RQ2 相同的嵌入框架能否扩展至处理有容量限制的车辆路径问题中的多 depot 情况及未访问客户所面临的惩罚？
• RQ3 将有界高速公路维度图嵌入至具有可控加法畸变的低树宽图，是否能为 k-Median 及相关问题提供高效的近似解？
• RQ4 中心顶点或集合 S 的选择如何影响畸变程度及嵌入实例中的最终近似质量？
• RQ5 嵌入图的树宽在 |S| 和高速公路维度方面可在多大程度上被控制？这对算法效率有何影响？

主要发现

• 当 k 固定时，对于有界高速公路维度图中的 k-Center 问题，存在 PTAS，其依赖于具有加法畸变的低树宽嵌入。
• 相同的嵌入框架为有界高速公路维度图中的 k-Median 问题（固定 k）也提供了 PTAS，从而扩展了其在总距离目标下的适用性。
• 在有界高速公路维度图中，即使未访问客户需承担惩罚，也实现了有容量限制车辆路径问题的 PTAS。
• 该嵌入保留了任意两点间距离，其加法误差最多为 ε 倍于任一顶点到选定中心顶点的距离，从而支持精确近似。
• 对于多 depot 情况，该框架可扩展以支持在 depot 之间进行路径规划，且嵌入可调整以包含一组特殊顶点 S，其树宽依赖于 |S|。
• 距离保持中的加法误差被限制在 ε 倍于到所选集合中最近顶点的距离以内，确保所有问题变体的近似质量保持强劲。