[논문 리뷰] Port-Hamiltonian Realizations of Nonminimal Linear Time Invariant Systems

Christopher Beattie, Volker Mehrmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 35인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 비최소차수 선형 시간 불변(LTI) 시스템을 피드스러프 행렬의 대칭 부분이 특이일 경우나 시스템이 비패assing일 경우에도 포트-해밀토니안(pH) 형식으로 변환하는 수치적 방법을 제시한다. 이 방법은 칼만-야쿠보비치-포포프(KYP) 부등식의 정규화된 해를 이용하여, 구조적 행렬 변환을 통해 pH 실현을 구성하며, 최소한의 변형을 통해 안정성과 패assing 회복을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Numerical methods for developing port-Hamiltonian representations of general linear time-invariant systems are studied. The approach extends previous port-Hamiltonian characterizations to include the general non-minimal case and the case where the feedthrough term fails to have an invertible symmetric part. The resulting construction is able to identify infeasibility when the system fails to be port-Hamiltonian, and allows for the incorporation of perturbations in order to arrive at a nearby port-Hamiltonian system. Results are illustrated via numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 비최소차수 일반 LTI 시스템, 특히 피드스러프 행렬의 대칭 부분이 특이일 경우에도 포트-해밀토니안(pH) 시스템 특성화를 확장하기 위해.
• 시스템이 본질적으로 비패assing이거나 불안정할 경우에도 pH 실현을 구성하기 위한 수치적으로 안정된 절차를 개발하기 위해.
• KYP 부등식 위반을 감지하여 pH 실현의 불가능성을 식별하고, 유효한 pH 구조를 달성하기 위해 필요한 최소한의 변형을 정량화하기 위해.
• 구조적 행렬 분해와 정규화된 부분공간 계산을 이용하여 임의의 LTI 시스템을 pH 형식으로 변환하는 계산적으로 실행 가능한 알고리즘을 제공하기 위해.
• 원래 시스템이 비안정하거나 비패assing일지라도 결과로 얻는 pH 시스템이 구조적으로 안정성과 패assing을 확보하도록 보장하기 위해.

제안 방법

• 칼만-야쿠보비치-포포프(KYP) 조건에서 유도된 선형행렬부등식(LMI) 형식의 식(9)으로 포트-해밀토니안 실현 문제를 수식화하기 위해.
• KYP LMI가 불가능한 경우를 다루기 위해 정규화된 해 전략을 사용하여, 양의 정부호 해 Q의 존재를 보장하기 위해 작은 변형을 도입하기 위해.
• KYP 부등식의 가역성 분석과 구조적 장애 감지를 위해, 짝수 행렬펜슬(32)에 대해 계단형 유사 감소와 정규화된 부분공간 계산을 적용하기 위해.
• 원래 LTI 시스템을 pH 형식으로 변환하기 위해 해 Q를 통해 변환 행렬을 구성하며, 시스템 차수와 구조를 유지하기 위해.
• 수치적 안정성을 향상시키기 위해, [38, 39]에서 유래한 유도 배열 접근법을 사용하여 펜슬의 유한, 무한, 특이 고유값 성분을 분리하기 위해.
• 수치적 연속성과 잔차 추적을 사용하여 시스템 매개변수가 변화함에 따라 Q와 변형 노름의 행동을 모니터링함으로써 실제 구현을 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 비최소차수 LTI 시스템이 피드스러프 행렬의 대칭 부분이 특이할 경우에도 포트-해밀토니안 시스템으로 변환 가능한 조건는 무엇인가?
• RQ2 주어진 LTI 시스템에 대해 pH 실현의 존재가 불가능한지를 수치적으로 감지하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 비패assing 또는 비안정인 LTI 시스템이 근접한 포트-해밀토니안 표현을 갖기 위해 필요한 최소한의 변형은 무엇인가?
• RQ4 특이점 근처 또는 펜슬의 차수(인덱스)가 높을 경우, KYP 부등식의 해 Q는 시스템 매개변수에 따라 어떻게 변하는가?
• RQ5 이 방법은 pH 구조를 유지하면서 미분대수방정식(DAEs)을 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 테스트된 비최소차수 LTI 시스템에 대해 이 방법은 성공적으로 포트-해밀토니안 실현을 구성하였다. 특히 KYP 부등식이 불가능한 경우에도 성공하였다.
• KYP 부등식이 불가능한 경우, 알고리즘은 약간 변형된 시스템에 대해 양의 정부호 Q를 계산하며, 그 변형 노름(잔차)은 그림 1과 그림 2에서 수치적으로 추적되었다.
• ϵ = 0일 때, 펜슬(32)의 인덱스는 ≥2이지만, 이 방법은 수치적으로 안정적이며 수치적 불안정성에도 불구하고 유효한 pH 구조를 생성하였다.
• 계산된 Q와 잔차는 매우 작은 또는 음수 값일지라도 ϵ에 대해 부드럽게 변화함을 보여, 매개변수 변화에 대한 강건성을 시사하였다.
• 해 Q는 유일하지 않으며, 동일한 pH 시스템에서 시작하더라도 다양한 실현이 반환될 수 있다. 이는 예제 37에서 확인되었다.
• 이 방법은 비패assing 또는 비안정인 LTI 시스템에서 최소한의 구조적 변형을 통해 안정적이고 패assing인 근접한 pH 시스템을 구성할 수 있도록 한다.