[논문 리뷰] Positive Definiteness and Semi-Definiteness of Even Order Symmetric Cauchy Tensors

Haibin Chen, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 25.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 19인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 짝수계수 대칭 코시 텐서의 양의 준정부호성 및 양의 정부호성에 대한 필수 및 필요조건을 확립한다. 이는 해당 텐서가 양의 생성 벡터를 가질 때에만 양의 준정부호성이 되며, 생성 벡터의 성분이 모두 양이며 상호로 다를 때에만 양의 정부호성이 된다는 것을 증명한다. 이러한 결과는 Fiedler의 대칭 코시 행렬에 대한 기존 연구를 확장하며, 스펙트럼 성질(예: 동차 다항식의 단조성 및 히아다르 곱에 대한 닫힘성)을 제공한다.

ABSTRACT

Motivated by symmetric Cauchy matrices, we define symmetric Cauchy tensors and their generating vectors in this paper. Hilbert tensors are symmetric Cauchy tensors. An even order symmetric Cauchy tensor is positive semi-definite if and only if its generating vector is positive. An even order symmetric Cauchy tensor is positive definite if and only if its generating vector has positive and mutually distinct entries. This extends Fiedler's result for symmetric Cauchy matrices to symmetric Cauchy tensors. Then, it is proven that the positive semi-definiteness character of an even order symmetric Cauchy tensor can be equivalently checked by the monotone increasing property of a homogeneous polynomial related to the Cauchy tensor. The homogeneous polynomial is strictly monotone increasing in the nonnegative orthant of the Euclidean space when the even order symmetric Cauchy tensor is positive definite. Furthermore, we prove that the Hadamard product of two positive semi-definite (positive definite respectively) symmetric Cauchy tensors is a positive semi-definite (positive definite respectively) tensor, which can be generalized to the Hadamard product of finitely many positive semi-definite (positive definite respectively) symmetric Cauchy tensors. At last, bounds of the largest H-eigenvalue of a positive semi-definite symmetric Cauchy tensor are given and several spectral properties on Z-eigenvalues of odd order symmetric Cauchy tensors are shown. Further questions on Cauchy tensors are raised.

연구 동기 및 목표

• 대칭 코시 행렬에 대한 Fiedler의 결과를 고계수 대칭 코시 텐서로 확장하기 위해.
• 생성 벡터를 기반으로 한 짝수계수 대칭 코시 텐서의 양의 준정부호성 및 양의 정부호성을 특성화하기 위해.
• 동차 다항식의 단조성 및 고유값 행동을 포함한 스펙트럼 성질을 조사하기 위해.
• 양의 준정부호성 및 양의 정부호성의 코시 텐서에 대해 히아다르 곱에 대한 닫힘 성질을 탐구하기 위해.
• 홀수계수 대칭 코시 텐서에 대한 Z-고유값 성질을 검토하기 위해.

제안 방법

• 생성 벡터 $ c \in \mathbb{R}^n $를 통해 짝수계수 대칭 코시 텐서를 정의하며, 항목은 $ c_{i_1\cdots i_m} = \frac{1}{c_{i_1} + \cdots + c_{i_m}} $로 주어지며, 모든 분모가 0이 아니라고 가정한다.
• 짝수계수 대칭 코시 텐서가 양의 준정부호성이 되는 것은 그 생성 벡터가 양수일 때에 한하여 성립함을 증명한다.
• 그 텐서가 양의 정부호성이 되는 것은 생성 벡터의 성분이 모두 양수이면서 상호로 다를 때에 한하여 성립함을 확립한다.
• 양의 준정부호성이 비음수 부공간에서의 동차 다항식의 단조 증가 성질과 동치임을 보여준다.
• 유한 개의 양의 준정부호(또는 정부호) 대칭 코시 텐서의 히아다르 곱은 여전히 양의 준정부호(또는 정부호)임을 증명한다.
• Z-고유값의 적분 표현을 통한 스펙트럼 성질 분석과 H-고유값에 대한 부등식 유도

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수계수 대칭 코시 텐서가 양의 준정부호성이 되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 짝수계수 대칭 코시 텐서가 양의 정부호성이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 관련된 동차 다항식의 단조성은 텐서의 정부호성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 양의 준정부호 대칭 코시 텐서의 히아다르 곱은 여전히 양의 준정부호인가?
• RQ5 홀수계수 대칭 코시 텐서에 대한 Z-고유값의 스펙트럼 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 짝수계수 대칭 코시 텐서는 그 생성 벡터가 양수일 때에만 양의 준정부호성이 된다.
• 짝수계수 대칭 코시 텐서는 그 생성 벡터의 성분이 모두 양수이면서 상호로 다를 때에만 양의 정부호성이 된다.
• 짝수계수 대칭 코시 텐서의 양의 준정부호성은 텐서와 관련된 동차 다항식이 비음수 부공간에서 단조 증가하는 것과 동치이다.
• 텐서가 양의 정부호성일 경우, 그에 관련된 동차 다항식은 비음수 부공간에서 엄격하게 단조 증가한다.
• 유한 개의 양의 준정부호(또는 정부호) 대칭 코시 텐서의 히아다르 곱은 여전히 양의 준정부호(또는 정부호)이다.
• 양수의 생성 벡터를 가진 홀수계수 대칭 코시 텐서에 대해, 모든 양의 Z-고유값은 비음수 Z-고유벡터와 대응하며, 모든 음의 Z-고유값은 비양수 Z-고유벡터와 대응한다.