[논문 리뷰] Positive Invariance Lemmas for Control Problems with Convergence to Lyapunov-unstable Sets

Alexander N. Gorban, Ivan Tyukin외 2명|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 22.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 32인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 안정된 부분이 있는 1차원 불안정 또는 임계적으로 안정된 부분을 가진 시스템 클래스에 대해 불안정한 불변 집합을 가진 시스템에서 정상성, 유계성, 수렴성에 대한 리아푸노프 유사 특성화를 제안한다. 입력이 없는 단순한 기준을 통해 유계 해가 되거나 유한 시간 내에 산산이 흩어지는 초기 조건의 영역을 결정할 수 있으며, 수축률이나 입력-출력 이득을 요구하지 않는 비선형 출력 조절 및 적응 제어 문제에 대한 새로운 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We provide Lyapunov-like characterizations of positive invariance, boundedness and convergence of non-trivial solutions for a class of systems with unstable invariant sets. The systems of this class comprise of a stable part coupled with a one-dimensional unstable or critically stable subsystem. Examples of these systems appear in the problems of nonlinear output regulation, parameter estimation and adaptive control. We demonstrate that, for a large class of systems with unstable equilibria and solutions that might escape to infinity in finite time, it is always possible to determine simple criteria for positive invariance and boundedness of the system’s nontrivial solutions. Conversely, it is possible to characterize domains of initial conditions that lead to solutions escaping from the origin. In contrast to other works addressing convergence issues in unstable systems, our results do not rely on the availability of input-output gains or contraction rates that are usually required for the stable compartment.

연구 동기 및 목표

• 불안정한 불변 집합을 가진 제어 시스템에서 수렴성과 유계성을 다루기 위한 것, 특히 해가 끝없이 유한 시간 내에 무한대 방향으로 흩어질 수 있는 경우를 고려하기 위함이다.
• 안정된 성분과 1차원 불안정 또는 임계적으로 안정된 부분을 가진 시스템에서 비자명한 해의 양의 불변성과 유계성을 위한 기준을 개발하기 위함이다.
• 기본 해가 원점에서 떨어지는 초기 조건의 집합을 특성화하여, 영향의 영역 유사 분석을 제공하기 위함이다.
• 기존의 안정성 도구가 불안정한 평형점으로 인해 실패하는 비선형 출력 조절, 매개변수 추정, 적응 제어 문제에 적용 가능한 프레임워크를 제공하기 위함이다.
• 이전 연구에서 일반적으로 요구되는 수축률이나 입력-출력 이득에 대한 의존도 제거를 위해, 새로운 최소 구조 기반 접근법을 도입하기 위함이다.

제안 방법

• 이 방법은 안정된 부분과 1차원 불안정 또는 임계적으로 안정된 부분을 가진 시스템의 구조에 맞게 설계된 리아푸노프 유사 함수를 구성하는 데 기반한다.
• 시스템을 안정된 부분과 불안정한 부분으로 분해하여 각 성분의 역학을 별도로 분석할 수 있도록 한다.
• 비교 원리와 미분 부등식을 사용하여 해의 행동, 특히 유한 시간 내 산산이 흩어지는 시간과 유계성을 분석한다.
• 불안정한 부분이 1차원이므로 해 궤도의 명시적 특성화가 가능하다.
• 시스템의 내재적 구조와 불안정 집합 근처 해의 행동에 초점을 맞추어, 수축률이나 입력-출력 이득을 요구하지 않는다.
• 불안정한 부분의 역학의 부호와 성장 특성에 기반하여 양의 불변성과 유계성에 대한 충분 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불안정한 불변 집합을 가진 시스템에서 해가 끝없이 유한 시간 내에 무한대 방향으로 흩어지는 초기 조건의 집합을 특성화할 수 있는가?
• RQ2 비자명한 해가 불안정한 평형점이 존재함에도 불구하고 유계성과 양의 불변성을 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 기존에 안정된 부분에서 요구되는 입력-출력 이득이나 수축률을 가정하지 않고도, 유계성과 불변성 기준을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ4 리아푸노프 유사 도구는 불안정한 불변 집합을 가진 시스템에 얼마나 적절하게 적용될 수 있는가?
• RQ5 특히 출력 조절과 적응 제어에서 발생하는 시스템 클래스 중에서 이러한 기준이 효과적으로 적용될 수 있는 범위는 어디까지인가?

주요 결과

• 이 논문은 안정된 부분과 1차원 불안정 또는 임계적으로 안정된 부분을 가진 광범위한 시스템 클래스에 대해, 수축률이나 입력-출력 이득을 요구하지 않고도 양의 불변성과 유계성에 대한 단순한 기준을 도출할 수 있음을 입증한다.
• 해가 끝없이 유한 시간 내에 산산이 흩어지는 초기 조건 영역을 완전히 특성화하여, 불안정한 시스템에 대한 정확한 영향의 영역 분석이 가능해진다.
• 결과는 비선형 출력 조절, 매개변수 추정, 적응 제어와 같은 실제 제어 문제에 적용 가능하며, 여기서 불안정한 평형점은 흔한 문제이다.
• 시스템의 평형점이 리아푸노프-불안정하더라도 불변 집합을 식별할 수 있도록 프레임워크를 제공하여, 고전적인 불변성 이론을 확장한다.
• 해가 끝없이 유한 시간 내에 발산할 수 있는 경우를 효과적으로 다루며, 이러한 행동을 체계적으로 분석하고 제약을 둘 수 있는 방법을 제공한다.
• 입력-출력 이득이나 수축률에 대한 가정이 없기에, 이전의 방법보다 더 넓은 범위의 불안정한 시스템 분석에 적용 가능하다.