[논문 리뷰] Positive solutions of singularly perturbed nonlinear elliptic problem on Riemannian manifolds with boundary

Marco Ghimenti, Anna Maria Micheletti|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 27.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 컴acts한 리만다이안 다양체 위에서의 특이 섭동 비선형 타원형 편미분방정식에 대해, $\varepsilon \to 0$ 일 때 최소 $\operatorname{cat}(\partial M)+1$ 개의 서로 다른 양수 해가 존재함을 확립한다. 해들은 경계 근처에 집중하며, 그 수는 경계의 루스테르니크-슐레르만 카테고리에 의해 결정된다. 이는 변분법과 위상수학적 방법을 통해 평평한 영역에서의 결과를 곡률이 있는 경계를 가진 다양체로 확장한 것이다.

ABSTRACT

Let (M,g) be a smooth connected compact Riemannian manifold of finite dimension n \geq 2 with a smooth boundary \partial M. We consider the problem -ε^2Δ_gu+u=|u|^{p-2}u, u>0 on M, \partial u/ \partialν=0 on \partial M where ν is an exterior normal to \partial M. The number of solutions of this problem depends on the topological properties of the manifold. In particular we consider the Lusternik Schnirelmann category of the boundary.

연구 동기 및 목표

• 경계를 가진 컴팩트 리만다이안 다양체 위에서의 특이 섭동 비선형 타원형 문제에 대한 양수 해의 수를 결정하는 것.
• 경계 $\partial M$ 의 위상수학적 성질이 해의 수에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 기존의 평평한 영역에 대한 해의 다중성 결과를 곡률이 있는 경계를 가진 다양체로 확장하는 것.
• 루스테르니크-슐레르만 카테고리에 기반한 $\partial M$ 의 위상수학적 복잡도를 이용해 해의 수에 대한 위상수학적 하한을 설정하는 것.
• 변분법과 점근 해석을 통해 경계 근처에 집중하는 해를 구성하는 것.

제안 방법

• 소볼레프 공간 $H_g^1(M)$ 내의 네하리 만델라에서 제약 조건을 가진 최소화 문제로 문제를 재구성한다.
• 반평면 문제 $\mathbb{R}^n_+$ 에서의 경계층 해 $V$ 를 기반으로 한 근사 해의 가족 $Z_{\varepsilon,q}$ 를 사용한다.
• 경계의 점들을 네하리 만델라 내의 근사 해로 매핑하는 리트랙션 사상 $\Phi_\varepsilon: \partial M \to \mathcal{N}_\varepsilon$ 를 구성한다.
• 경계층 프로파일의 콘 유사 조합을 이용해 네하리 만델라 내에 수축 가능한 집합 $T_\varepsilon$ 를 정의한다.
• 루스테르니크-슐레르만 카테고리 이론을 적용하여 에너지 함수의 다중 임계점 존재성을 추론한다.
• 프로파일 $V$ 의 지수 감쇠 추정과 스케일링 추론을 사용해 에너지 및 노름 추정을 $\varepsilon$ 에 대해 균일하게 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 $\partial M$ 의 위상수학적 성질은 리만다이안 다양체 위의 특이 섭동 타원형 편미분방정식의 양수 해의 수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 루스테르니크-슐레르만 카테고리 $\partial M$ 을 사용하여 해의 수에 대한 하한을 제공할 수 있는가?
• RQ3 해들은 $\varepsilon \to 0$ 일 때 경계 근처에 집중하는가? 이 집중 현상은 $\partial M$ 의 기하학적 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 위상수학적 방법을 사용하여 평평한 영역에서의 다중성 결과를 경계를 가진 컴팩트 리만다이안 다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ5 네하리 만델라와 에너지 함수는 다수의 해 존재성을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 충분히 작은 $\varepsilon > 0$ 에 대해 문제는 최소 $\operatorname{cat}(\partial M) + 1$ 개의 서로 다른 양수 해를 가진다.
• 해들은 비정상적이며 $\varepsilon \to 0$ 일 때 경계 $\partial M$ 근처에 집중된다.
• 해의 에너지는 $\varepsilon$ 와 무관한 상수에 의해 균일하게 위에서 유계이므로 변분 설정에서 컴팩턴스를 보장한다.
• 네하리 만델라 내의 집합 $T_\varepsilon$ 는 수축 가능하며 $\Phi_\varepsilon$ 에 의해 경계의 상(image)을 포함한다. 이는 위상수학적 다중성 추론을 가능하게 한다.
• 경계층 해의 프로파일 $V$ 는 지수적으로 감쇠하므로 점근 해석에서 에너지 및 노름 추정을 균일하게 제어할 수 있다.
• 해의 수는 루스테르니크-슐레르만 카테고리로 측정된 $\partial M$ 의 위상수학적 복잡도에 의해 엄격히 결정된다.