[论文解读] Positivity functions for curves on algebraic varieties

Brian Lehmann, Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文建立了代数簇上曲线类的两种体积型函数之间的深层对偶性：除子体积的极变换与加权移动函数。它证明了对于所有伪有效曲线类，这两个函数完全一致，将Zariski的曲面分解理论推广至任意维数，并通过Legendre-Fenchel对偶性证实了对数凹性猜想，其应用涵盖曲线的移动锥与枚举几何。

ABSTRACT

This is the second part of our work on Zariski decomposition structures, where we compare two different volume type functions for curve classes. The first function is the polar transform of the volume for ample divisor classes. The second function captures the asymptotic geometry of curves analogously to the volume function for divisors. We prove that the two functions coincide, generalizing Zariski's classical result for surfaces to all varieties. Our result confirms the log concavity conjecture of the first named author for weighted mobility of curve classes in an unexpected way, via Legendre-Fenchel type transforms. We also give a number of applications to birational geometry, including a refined structure theorem for the movable cone of curves.

研究动机与目标

• 建立任意维数光滑射影代数簇上曲线类的Zariski型分解理论。
• 比较曲线类的两种体积型函数：除子体积的极变换与加权移动函数。
• 利用Legendre-Fenchel对偶性确认加权移动函数的对数凹性猜想。
• 为曲线的移动锥提供一个精细的结构定理。
• 将Perrin关于最优曲线的猜想推广至所有光滑射影代数簇上的所有大曲线类。

提出的方法

• 通过大且 nef 除子类的下确界，定义曲线类的体积函数的极变换。
• 将加权移动函数定义为带重数的点数列的上极限，用于度量一般点在有效曲线中渐近包含的性质。
• 利用曲线族的严格可移动性，在移动锥内部定义移动性与加权移动性。
• 应用双有理几何技术，包括在爆破下的严格变换，以关联不同模型上的类。
• 利用Néron-Severi群上移动函数的连续性与齐次性。
• 使用Legendre-Fenchel对偶性与凸分析，将极变换与加权移动函数关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意维数的光滑射影代数簇上，除子体积的极变换与加权移动函数是否对所有伪有效曲线类都一致？
• RQ2 能否通过Legendre-Fenchel变换等对偶性技术确认加权移动函数的对数凹性猜想？
• RQ3 如[Leh13b]中所猜想，完全交曲线类的移动性是否等于其自交数？
• RQ4 能否通过体积型函数的等价性对曲线的移动锥进行精细化？
• RQ5 曲线中点包含的渐近行为是否推广了Perrin在三维射影空间中关于最优曲线的猜想？

主要发现

• 曲线类的体积函数极变换等于加权移动函数：对所有 $\alpha \in \overline{\operatorname{Eff}}_1(X)$，有 $\widehat{\operatorname{vol}}(\alpha) = \operatorname{wmob}(\alpha)$。
• 移动函数满足 $\widehat{\operatorname{vol}}(\alpha) \leq \operatorname{mob}(\alpha) \leq n!\,\widehat{\operatorname{vol}}(\alpha)$，表明二者在维度相关常数因子内等价。
• 在猜想1.4成立的条件下，移动函数与极体积函数一致：$\operatorname{mob}(\alpha) = \widehat{\operatorname{vol}}(\alpha)$。
• 函数 $\mathfrak{M}(\alpha)$（定义为在双有理模型上 $\widehat{\operatorname{vol}}(\phi^*\alpha)$ 的极限）在移动锥内部等于 $\operatorname{wmob}_{\mathrm{mov}}(\alpha)$。
• 曲线族的严格可移动性使得可在曲线移动锥的内部构造出连续且齐次的移动函数。
• 体积型函数的等价性通过Legendre-Fenchel对偶性确认了加权移动函数的对数凹性猜想，以一种出人意料的方式解决了该问题。