[논문 리뷰] Possible fluid interpretation and tidal force equation on a generic null hypersurface in Einstein-Cartan theory

Sumit Dey, Bibhas Ranjan Majhi|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 23.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 75인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 아인슈타인-카르탕 이론에서 일반적인 광원수면 상에서 하이지에크 1형식의 역학적 진화에 대해 유체 유사 해석을 제안하고, 조건부로 타원형력 방정식을 유도한다. ECKS 장 방정식을 광원수면에 투영하고, 적응 좌표계와 국소 관성 기준에서 비틀림 텐서의 리 도함수를 분석함으로써, 진화 방정식이 비대칭 응력과 스핀 기여를 포함하는 일반화된 코세라르 유체 모델과 유사한 형태를 띤다는 것을 보여준다. 이는 비틀림이 존재하는 시공간에서 중력에 대한 유체 유사 모델을 제공한다.

ABSTRACT

The dynamical evolution of the Hajicek $1$-form is derived in Einstein-Cartan (EC) theory. We find that like Einstein theory of gravity, the evolution equation is related to a projected part of the Einstein tensor $(\hat{G}_{ab})$ on a generic null surface $\mathcal{H}$, particularly $\hat{G}_{ab}l^a q^b_{~c}$, where $l^a$ and $q^a_{~c}$ are the outgoing null generators of $\mathcal{H}$ and the induced metric to a transverse spatial cross-section of $\mathcal{H}$ respectively. Under the {\it geodesic constraint} a possible fluid interpretation of this evolution equation is then proposed. We find that it has the structure which is reminiscent to the {\it Cosserat generalization} of the Navier-Stokes fluid provided we express the dynamical evolution equation of the Hajicek $1$-form in a set of coordinates adapted to $\mathcal{H}$ and in a local inertial frame. An analogous viewpoint can also be built under the motive that the usual material derivative for fluids should be replaced by the Lie derivative. Finally, the tidal force equation in EC theory on the null surface is also derived.

연구 동기 및 목표

• 아인슈타인-카르탕 이론에서 일반적인 광원수면 상에서 중력 장 방정식이 유체 유사 해석을 허용하는지 조사하기 위해.
• 비영인 비틀림을 가진 리만-카르탕 시공간에서 광원수면 상의 타원형력 방정식을 유도하기 위해.
• 투영된 ECKS 방정식과 일반화된 연속체 역학, 특히 코세라르 유체 역학 간의 관계를 탐색하기 위해.
• 적응 좌표계와 국소 관성 기준을 사용하여 기하학적 진화 방정식과 유체 유사 역학 간의 대응 관계를 수립하기 위해.
• 리 도함수가 이 유체 유사 해석 프레임워크에서 표준 물질 도함수의 일반화로써 어떻게 기능하는지 검토하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 광원수면 H 상에서 아인슈타인-카르탕-키블-시아마(ECKS) 장 방정식을 투영하여 하이지에크 1형식의 역학적 진화 방정식을 유도한다.
• 광원수면에 대한 광원 생성자 la와 수직 공간 계량 qab를 사용하여 ECKS 텐서 ˆGab를 광원면에 투영하며, 특히 ˆGablaqb c에 중점을 둔다.
• 변형률 텐서 ˆχij를 확장, 비틀림, 소용돌이 성분으로 분해하여 대칭 비탄성 퇴화 성분 (l,d)σij를 분리한다.
• 광원수면에 적응된 좌표계와 보정된 국소 관성 기준에서 표현함으로써 유체 유사한 구조를 드러내기 위해 진화 방정식을 표현한다.
• 표준 물질 도함수를 광원 생성자 l 沿해 리 도함수로 대체하여, 비대칭 응력과 스핀 텐서에 대한 유체 유사 해석을 일반화한다.
• 리 도함수와 곡률 및 비틀림 기여를 등가함으로써 타원형력 방정식을 유도하며, 최종적으로 외력 및 비틀림 수정 릭치 성분으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아인슈타인-카르탕 이론에서 광원수면 상의 하이지에크 1형식의 역학적 진화는 유체 유사 시스템으로 해석될 수 있는가?
• RQ2 아인슈타인-카르탕 이론에서 시공간의 비틀림을 포함함으로써 일반 상대성이론과 비교할 때 유체 유사 해석은 어떻게 수정되는가?
• RQ3 비영인 비틀림을 가진 리만-카르탕 시공간에서 일반적인 광원수면 상의 타원형력 방정식의 형태는 어떠한가?
• RQ4 광원 생성자 l 의 리 도함수가 이 유체 유사 해석에서 물질 도함수의 적절한 일반화로 기능하는 데까지 어느 정도의 정도까지 가능한가?
• RQ5 비틀림과 스핀이 존재하는 조건에서 투영된 ECKS 방정식은 코세라르 일반화 라우르-나비에-스톡스 방정식 형태로 재구성될 수 있는가?

주요 결과

• 적응 좌표계와 국소 관성 기준에서 표현할 경우, 아인슈타인-카르탕 이론에서 광원수면 상의 비틀림 텐서 (l,d)σij의 진화 방정식은 일반화된 코세라르 라우르-나비에-스톡스 방정식과 구조적으로 유사한 형태를 취한다.
• 타원형력 방정식은 리 도함수와 곡률 및 비틀림 기여를 명시적으로 분리한 진화 방정식으로서, 리만 텐서를 외력과 비틀림 수정 릭치 성분으로 분해함으로써 도출된다.
• 비틀림의 존재는 응력 연결과 비틀림 텐서 기여를 포함한 추가 항들을 진화 방정식에 도입하여 표준 유체 유사 역학을 수정한다.
• 방정식 (C.29)는 리 도함수와 확장 스칼라, 비틀림, 비틀림 항을 명시적으로 연결하며, 최종적인 타원형력 방정식 (6.3)에 외력 텐서와 비틀림 항이 포함된다.
• 유도 과정은 표준 물질 도함수가 자연스럽게 광원 생성자 l 의 리 도함수로 대체됨을 보여주며, 이는 유체 유사 해석에서 코 variance 와 일관성을 유지하는 데 필수적이다.
• 최종적인 타원형력 방정식 (6.3)은 식 (C.32)의 리 도함수 표현과 식 (C.29) 및 (C.31)의 곡률 및 비틀림 항을 등가함으로써 유도되며, 외력 텐서와 비틀림 수정 릭치 성분을 포함하는 완전히 코 variance 표현이 된다.