[논문 리뷰] Power law violation of the area law in critical spin chains

Ramis Movassagh, Peter W. Shor|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 07.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정수 스핀-$s$ 체인에 대해 정확히 해석 가능한, 이동 대칭성과 국소성을 갖는 해밀토니안의 가족을 제안한다. 이 모델은 임계 행동을 보이지만 엔트로피의 면적 법칙을 거듭 제곱근 $\sqrt{n}$ 비율로 위반하며, 시스템 크기 $n$ 에 따라 스케일링된다. 모델은 과도한 에너지가 없으며, 유일한 기본 상태를 가지며, 에너지 갭이 $n^{-c}$ 비율로 수축하며 $c \geq 2$ 이다. 이는 conformal field theory 기술이 불가능하다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

The sub-volume scaling of the entanglement entropy with the system's size, $n$, has been a subject of vigorous study in the last decade [1]. The area law provably holds for gapped one dimensional systems [2] and it was believed to be violated by at most a factor of $\log\left(n ight)$ in physically reasonable models such as critical systems. In this paper, we generalize the spin$-1$ model of Bravyi et al [3] to all integer spin-$s$ chains, whereby we introduce a class of exactly solvable models that are physical and exhibit signatures of criticality, yet violate the area law by a power law. The proposed Hamiltonian is local and translationally invariant in the bulk. We prove that it is frustration free and has a unique ground state. Moreover, we prove that the energy gap scales as $n^{-c}$, where using the theory of Brownian excursions, we prove $c\ge2$. This rules out the possibility of these models being described by a conformal field theory. We analytically show that the Schmidt rank grows exponentially with $n$ and that the half-chain entanglement entropy to the leading order scales as $\sqrt{n}$ (Eq. 16). Geometrically, the ground state is seen as a uniform superposition of all $s-$colored Motzkin walks. Lastly, we introduce an external field which allows us to remove the boundary terms yet retain the desired properties of the model. Our techniques for obtaining the asymptotic form of the entanglement entropy, the gap upper bound and the self-contained expositions of the combinatorial techniques, more akin to lattice paths, may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 지역성, 이동 대칭성, 임계 행동을 보이는 물리적 스핀 체인의 클래스를 구성하는 것.
• 이러한 위반 현상이 로그적 요소를 넘어서 거듭 제곱근 비율로, 즉 시스템 크기의 $\sqrt{n}$ 으로 발생할 수 있음을 보여주는 것.
• 모델이 과도한 에너지가 없고 유일한 기본 상태를 가지며, 에너지 갭의 스케일링을 분석하는 것을 증명하는 것.
• 기본 상태가 $s$-색상 Motzkin 걷기의 균일한 초순합으로 정확히 기술될 수 있음을 보여주며 기하학적 해석을 제공하는 것.
• 경계 항을 제거하면서도 모델의 핵심 물리적 성질을 유지하는 외부 필드를 도입하는 것.

제안 방법

• Bravyi 등이 제안한 스핀-1 모델을 모든 정수 스핀-$s$ 체인으로 일반화하여 국소적이고 이동 대칭성 있는 해밀토니안을 사용하는 것.
• 브라운 운동의 이격 이론을 활용하여 갭 지수에 대한 하한을 도출함으로써, 에너지 갭이 $n^{-c}$ 로 스케일링될 때 $c \geq 2$ 임을 증명하는 것.
• 기본 상태를 제약 조건이 있는 격자 경로로 구성된 모든 $s$-색상 Motzkin 걷기의 균일한 초순합으로 특성화하는 것.
• 격자 경로 이론에서 유도된 조합 기법을 적용하여 슈미트 랭크와 엔트로피의 渐近적 스케일링을 계산하는 것.
• 경계 항을 수정하면서도 부스러기 성질이나 기본 상태의 구조를 변화시키지 않는 외부 필드를 도입하는 것.
• 엔트로피 스케일링을 유도하기 위해 자가 포함된 조합 및 해석적 방법을 사용하며, 명시적인 渐近적 분석을 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지역성과 이동 대칭성을 갖는 임계 스핀 체인에서 면적 법칙 위반은 로그적 요소를 넘어서 거듭 제곱근 비율로 발생할 수 있는가, 특히 시스템 크기의 $\sqrt{n}$ 으로?
• RQ2 이러한 모델에서 엔트로피 스케일링의 정확한 비율은 무엇이며, 조합 경로 모델을 사용하여 이를 해석적으로 유도할 수 있는가?
• RQ3 이러한 모델에서 에너지 갭은 시스템 크기와 어떻게 스케일링되는가, 그리고 이는 그들의 보편성 클래스에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 기본 상태는 제약 조건이 있는 격자 경로, 예를 들어 $s$-색상 Motzkin 걷기의 초순합으로 정확히 기술될 수 있는가?
• RQ5 외부 필드를 통해 경계 효과를 제거할 수 있으며, 이로 인해 모델의 임계성과 해석 가능성 특성이 유지되는가?

주요 결과

• 반체인 엔트로피는 주로 $\sqrt{n}$ 비율로 스케일링되며, 면적 법칙의 거듭 제곱근 위반을 나타낸다.
• 기본 상태의 슈미트 랭크는 $n$ 에 따라 지수적으로 증가하며, 높은 얽힘 복잡성의 지표가 된다.
• 에너지 갭은 $n^{-c}$ 비율로 수축하며 $c \geq 2$ 이다. 이는 conformal field theory 기술이 불가능하다는 것을 의미한다.
• 모델은 과도한 에너지가 없으며, 유일한 기본 상태를 가지므로 안정성과 명확한 저에너지 물리학을 보장한다.
• 기본 상태는 정확히 모든 $s$-색상 Motzkin 걷기의 균일한 초순합으로 실현 가능하며, 기하학적 및 조합적 특성화를 제공한다.
• 외부 필드를 적용하여 경계 항을 제거할 수 있으며, 이로 인해 모델의 임계성과 해석 가능성 특성이 유지된다.