[논문 리뷰] Powers of two weighted sum of the first p divided Bernoulli numbers modulo p

Claire Levaillant|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 09.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 소수 $p$ 모듈로에서 가중치 $1/2^k$를 가진 분할 베르누이 수의 합과 아고-지우아 몫, 그리고 $p-2$개의 원소에 대한 짝수 상승 순열의 조합적 수를 연결하는 새로운 합동을 수립한다. $p$-진 해석과 제1종 스티어링 수를 활용하여 조화수와 오일러 수의 합에 대한 명시적 $p$-진 전개와 합동식을 유도함으로써 위페르히프 소수와 페르마 몫 $q_p(2)$를 나누는 소수에 대한 조합적 특성화를 제시한다.

ABSTRACT

We show that, modulo some odd prime p, the powers of two weighted sum of the first p-2 divided Bernoulli numbers equals the Agoh-Giuga quotient plus twice the number of permutations on p-2 letters with an even number of ascents and distinct from the identity. We provide a combinatorial characterization of Wieferich primes, as well as of primes p for which p^2 divides the Fermat quotient q_p(2).

연구 동기 및 목표

• 소수 $p$ 모듈로에서 $p$-진 가중합 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k}$ 의 합동식을 유도하는 것, 여기서 $\mathcal{B}_k = B_k/k$ 는 분할 베르누이 수이다.
• 이 합을 아고-지우아 몫과 $p-2$개의 원소에 대한 짝수 상승 순열의 수와 연결하는 것, 항등원을 제외한 경우이다.
• 페르마 몫 $q_p(2) = (2^{p-1} - 1)/p$ 의 제곱이 $p^2$로 나누어떨어지는 소수 $p$와 위페르히프 소수에 대한 조합적 특성화를 제공하는 것.
• 조화수를 포함하는 일반화된 합으로 이러한 결과를 확장하고, $p$-진 전개를 통해 월스턴홀름 소수와 연결하는 것.

제안 방법

• 부호 없는 제1종 스티어링 수의 두 개의 동치 정의를 사용하여, 순환과 다항식 계수 해석을 활용해 $p!$ 와 $(p+1)!$ 모듈로 $p^2$ 에 대한 항등식을 도출하는 것.
• 다항식 $x(x-1)\cdots(x-p+1)$ 에 $x = -2$ 를 대입하여 팩토리얼과 스티어링 수를 연결하는 핵심 항등식을 도출하는 것.
• 바이어슈트라우스-클로이젠 정리와 엠마 레이머의 결과를 적용하여, 베르누이 수의 $p$-진 성질과 가중합을 연결하는 것.
• 정수 거듭제곱의 합에 대한 모듈로 $p^2$ 의 합동식을 유도하기 위해, 이를 베르누이 수와 오일러 수의 합과 연결하는 것.
• 페르마 몫 $q_p(2)$ 에 대한 아이젠슈타인 공식과 조화수 항등식을 활용하여, 교대 합과 오일러 수를 포함하는 새로운 합동식을 도출하는 것.
• 다항식 $X^{p-1} + (p-1)!$ 의 $\mathbb{Z}_p[X]$ 에서의 $p$-진 인수분해를 구성하여, 근과 계수를 $q_p(2)$ 와 조합적 수 $w_p$ 와 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중합 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k}$ 모듈로 $p$ 는 알려진 산술 불변량과 조합적 대상으로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 페르마 몫 $q_p(2)$ 와 $p-2$개의 원소에 대한 짝수 상승 순열의 수 사이의 정확한 $p$-진 관계는 무엇인가?
• RQ3 $p^2$ 가 $q_p(2)$ 를 나누는 조건은 무엇이며, 오일러 수를 사용한 조합적 특성화로 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ4 베르누이 수, 조화수, 오일러 수의 합에 대한 $p$-진 전개가 상호 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 $\mathbb{Z}_p[X]$ 에서의 다항식 $X^{p-1} + (p-1)!$ 이 $q_p(2) + w_p$ 가 모듈로 $p$ 에서 0이 되는 것을 특성화하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 모듈로 $p$ 에서 합 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k}$ 는 아고-지우아 몫에 두 배의 짝수 상승 순열 수(항등원 제외)를 더한 것과 같다.
• 페르마 몫 $q_p(2)$ 모듈로 $p$ 는 $2w_p + 1$ 과 합동이며, 여기서 $w_p$ 는 $p-2$개의 원소에 대한 짝수 상승 순열 수(항등원 제외)이다.
• 합동식 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k} \equiv 0 \pmod{p}$ 는 $q_p(2) \equiv -w_p \pmod{p}$ 와 동시에 성립하며, 이는 합이 페르마 몫과 연결됨을 보여준다.
• 다항식 $X^{p-1} + (p-1)!$ 은 $\mathbb{Z}_p[X]$ 에서 $p$-진 근을 통해 인수분해되며, 근에서 $X=2$ 에서의 두 번째 $p$-진 자릿수가 0이 되는 것과 $q_p(2) + w_p \equiv 0 \pmod{p}$ 의 합동식이 동치임을 보여준다.
• 일반적인 $k$ 에 대해 $3 \leq k \leq p-1$ 이면, 합 $\sum_{l=1}^{p-2} \frac{B_l}{l k^l} \equiv 0 \pmod{p}$ 이다. 이는 $q_p(k) \equiv -w_p \pmod{p}$ 와 동치이며, 이는 다른 기반으로 일반화된 결과를 얻는다.
• 결과들은 알려진 조화수 합동식과 일치하며, 본 논문은 이러한 합의 추가 연구가 윌슨 소수와 수퍼-위페르히프 소수의 존재성에 대한 통찰을 제공할 수 있음을 제안한다.