[논문 리뷰] Precise estimation on the order of local testability of deterministic finite automaton

A. N. Trahtman|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 12.

semigroups and automata theory참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $n$ 개의 상태를 가진 결정성 유한 오토마타에서 국소적 테스트 가능성의 순서에 대한 정확한 상한 $(n^2 - n)/2 + 1$ 을 제시하며, 이것이 날카로운 상한임을 증명한다. 이는 Kim, McNaughton, McCluskey의 추측을 해결하며, 순서의 테스트 가능성의 크기가 이분법 알파벳에서 $O(n^{1.5})$일 것이라는 추측을 반박한다. 이는 이분법 알파벳을 사용하는 $\Omega(n^2)$ 순서의 테스트 가능성 크기를 가지는 자동차 가족을 구성함으로써 이루어진다.

ABSTRACT

A locally testable language L is a language with the property that for some non negative integer k, called the order or the level of local testable, whether or not a word u in the language L depends on (1) the prefix and the suffix of the word u of length k-1 and (2) the set of intermediate partial strings of length k of the word u. For given k the language is called k-testable. We give necessary and sufficient conditions for the language of an automaton to be k-testable in the terms of the length of paths of a related graph. Some estimations of the upper and of the lower bound of testable order follow from these results. We improve the upper bound on the testable order of locally testable deterministic finite automaton with n states to n(n-2)+1 This bound is the best possible. We give an answer on the following conjecture of Kim, McNaughton and Mac-CLoskey for deterministic finite locally testable automaton with n states: \Is the local testable order of no greater than n in power 1.5 when the alphabet size is two?" Our answer is negative. In the case of size two the situation is the same as in general case.

연구 동기 및 목표

• 결정성 유한 오토마타의 상태 수가 $n$ 인 경우 국소적 테스트 가능성의 순서에 대한 정확한 상한을 결정하는 것.
• Kim, McNaughton, McCluskey가 제기한 추측을 해결하는 것 — 이는 이분법 알파벳을 사용하는 오토마타의 국소적 테스트 가능성 순서가 $O(n^{1.5})$ 일 것이라는 것이다.
• 직접 곱 그래프 $\Gamma \times \Gamma$ 에서의 경로 길이 분석을 통해 $k$-테스트 가능성의 필수 및 필요 조건을 설정하는 것.
• 국소적 테스트 가능성의 순서가 $\Omega(n^2)$ 에 도달할 수 있음을 보여주는 명시적 오토마타를 구성하는 것 — 이는 이분법 알파벳 조건에서도 성립한다.

제안 방법

• 결정성 유한 오토마타의 상태 전이 그래프 $\Gamma$ 를 분석하고, 경로의 구조를 연구하기 위해 직접 곱 그래프 $\Gamma \times \Gamma$ 를 구성한다.
• $\Gamma \times \Gamma$ 에서 순환 없는 경로 길이 제약 조건을 사용하여 $k$-테스트 가능성의 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 이전 연구에서 얻은 $k$-테스트 가능성 반군의 항등식을 활용하여 오토마타의 문법 반군을 특성화한다.
• 상태 수가 $n$ 이고 이분법 알파벳을 사용하는 결정성 유한 오토마타의 가족을 구성하며, $\Gamma \times \Gamma$ 에서의 명시적 경로 구성 방법을 통해 이들의 국소적 테스트 가능성 순서가 $\Omega(n^2)$ 임을 보여준다.
• 감소된 국소적 테스트 가능성 오토마타에 대해 상한 $(n^2 - n)/2 + 1$ 이 필수적이고 충분함을 보여, 이 상한이 날카로운 것임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 수가 $n$ 인 결정성 유한 오토마타에 대해 국소적 테스트 가능성의 순서가 $(n^2 - n)/2 + 1$ 이하로 제한되는가?
• RQ2 알파벳 크기가 2일 경우에도 국소적 테스트 가능성의 순서가 $\Omega(n^2)$ 로 증가하는가?
• RQ3 이분법 알파벳에서 순서가 $O(n^{1.5})$ 로 성장할 것이라는 추측은 확인되거나 반박될 수 있는가?
• RQ4 국소적 테스트 가능성의 필수 및 충분 조건은 $\Gamma \times \Gamma$ 의 경로 길이로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 감소된 결정성 유한 오토마타에 대해 상태 수가 $n$ 인 국소적 테스트 가능성의 순서에 대한 정확한 상한은 $(n^2 - n)/2 + 1$ 이며, 이 상한은 날카로운 것이다.
• 논문은 상태 수가 $n$ 이고 이분법 알파벳을 사용하는 오토마타의 가족을 구성하며, 이들의 국소적 테스트 가능성 순서가 $\Omega(n^2)$ 임을 보여, $O(n^{1.5})$ 성장에 대한 추측을 반박한다.
• 구성된 오토마타의 $\Gamma \times \Gamma$ 그래프에서 길이 $2n^2 + 4n - 6$ 의 경로가 존재함을 통해 국소적 테스트 가능성의 순서에 대한 하한이 $\Omega(n^2)$ 임을 보여준다.
• 강하게 연결된 상태 전이 그래프의 경우, $k$-테스트 가능성 조건은 필수적이고 충분하며, 이는 순서의 테스트 가능성 계산을 다항식 시간 내에 수행할 수 있는 알고리즘을 가능하게 한다.
• 결과적으로 국소적 테스트 가능성의 순서가 상태 수를 초월할 수 있음을 확인한다 — 구성된 오토마타는 28개의 상태를 가지며, 순서가 126을 초월한다.