[논문 리뷰] Predictive Modeling with Learned Constitutive Laws from Indirect Observations

Daniel Zhengyu Huang, Kailai Xu외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 29.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 32인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 신경망을 사용하여 간접적 관측 데이터로부터 구성법칙을 학습하는 물리 기반 기계 학습 프레임워크를 제안한다. 이 프레임워크는 유한 요소법과 자동 미분을 통합하며, 기존의 함수 근사기인 라디얼 기저 함수와 비교해 우수한 성능을 보이며, 신뢰구간을 통한 불확실성 정량화를 가능하게 한다. 이는 다스케일 및 비선형 고체역학 문제에서 효과적임을 입증한다.

ABSTRACT

We present a new approach for predictive modeling and its uncertainty quantification for mechanical systems, where coarse-grained models such as constitutive relations are derived directly from observation data. We explore the use of a neural network to represent the unknown constitutive relations, compare the neural networks with piecewise linear functions, radial basis functions, and radial basis function networks, and show that the neural network outperforms the others in certain cases. We analyze the approximation error of the neural networks using a scaling argument. The training and predicting processes in our framework combine the finite element method, automatic differentiation, and neural networks (or other function approximators). Our framework also allows uncertainty quantification in the form of confidence intervals. Numerical examples on a multiscale fiber-reinforced plate problem and a nonlinear rubbery membrane problem from solid mechanics demonstrate the effectiveness of our framework.

연구 동기 및 목표

• 간접적 관측 데이터로부터 직접적으로 구성법칙을 학습하는 예측 모델링 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기본적인 함수 근사기(예: 조각별 선형 함수, 라디얼 기저 함수)와 비교하여 신경망이 알려지지 않은 구성관계를 어떻게 표현하는지 평가하기 위해.
• 정확한 시뮬레이션과 훈련을 위해 신경망을 유한 요소법과 자동 미분과 통합하기 위해.
• 신뢰구간을 통한 예측의 불확실성 정량화를 가능하게 하기 위해.
• 다스케일 및 비선형 거동을 포함하는 어려운 고체역학 문제에 프레임워크를 검증하기 위해.

제안 방법

• 알려지지 않은 구성법칙을 표현하기 위해 신경망을 사용하며, 시스템 반응의 간접 관측 데이터를 기반으로 훈련한다.
• 공간 이산화를 위해 유한 요소법을 사용하고, 훈련을 위한 기울기 계산을 위해 자동 미분을 통합한다.
• 손실 함수는 통제 방정정식의 약한 형태 잔여항에서 유도되어 물리적 일致성을 확보한다.
• 수렴 행동 평가를 위해 스케일링 추론을 사용하여 신경망의 근사 오차를 분석한다.
• 베이지안 추론 또는 드롭아웃 기반 방법을 통해 예측 분산을 추정함으로써 불확실성 정량화를 수행한다.
• 두 가지 벤치마크 문제에 적용한다: 다스케일 섬유 강화 플레이트와 비선형 고무 막.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 신경망은 기계 시스템에서 간접적 관측 데이터로부터 구성법칙을 효과적으로 학습할 수 있는가?
• RQ2 라디얼 기저 함수와 같은 전통적 함수 근사기와 비교해 신경망의 구성법칙 식별 성능는 어떠한가?
• RQ3 신경망을 유한 요소법과 자동 미분와 통합함으로써 예측 정확도는 어느 정도 향상되는가?
• RQ4 이 프레임워크는 신뢰구간 형태로 신뢰할 수 있는 불확실성 정량화를 제공할 수 있는가?
• RQ5 복잡한 비선형 및 다스케일 기계 시스템에 대해 이 방법은 얼마나 잘 일반화되는가?

주요 결과

• 테스트 문제에서 조각별 선형 함수, 라디얼 기저 함수, 라디얼 기저 함수 네트워크와 비교해 신경망 기반 구성법칙 표현이 더 높은 예측 정확도를 보였다.
• 직접 응력-변형률 관계 측정이 필요 없이도 프레임워크는 간접 관측 데이터로부터 구성 거동을 성공적으로 학습했다.
• 자기 미분의 사용으로 인해 유한 요소 프레임워크 내에서 신경망 훈련을 위한 효율적이고 정확한 기울기 계산이 가능했다.
• 스케일링 추론 분석에 따르면, 신경망의 근사 오차는 네트워크의 깊이와 너비에 따라 유리하게 스케일링됨을 확인했다.
• 의미 있는 신뢰구간을 제공하여 예측의 불확실성 정량화가 가능했다.
• 섬유 강화 플레이트 및 고무 막 문제에 대한 수치 결과는 프레임워크의 강건성과 예측 능력을 확인했다.