[논문 리뷰] Prevalence of non-uniform hyperbolicity at the first bifurcation of Hénon-like families

Hiroki Takahasi|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 20.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 강하게 소산적인 헨온 유사 맵에서, 균일한 초구형성이 내부 접선에 의해 파괴되는 첫 번째 분기 매개수 $a^*$에서, 르베그 거의 모든 초기 점이 무한대 방향으로 발산하고, 모든 고정된 에르고딕 보렐 확률 측도의 리아프노프 지수들이 $a^*$ 근처의 매개수에서 일관되게 0에서 멀리 떨어져 있음을 증명한다. 이 결과는 이 임계 분기점에서 비균일한 초구형성이 널리 퍼져 있음을 확인한다.

ABSTRACT

We consider the dynamics of strongly dissipative Hénon-like maps in the plane, around the first bifurcation parameter $a^*$ at which the uniform hyperbolicity is destroyed by the formation of homoclinic or heteroclinic tangencies inside the limit set. In [Takahasi H.: Commun. Math. Phys. {\bf 312} 37-85 (2012)], it was proved that $a^*$ is a full Lebesgue density point of the set of parameters for which Lebesgue almost every initial point diverges to infinity under forward iteration. For these parameters, we show that all Lyapunov exponents of all invariant ergodic Borel probability measures are uniformly bounded away from zero, uniformly over all the parameters.

연구 동기 및 목표

• 강력한 소산성 헨온 유사 맵의 첫 번째 분기에서 비균일한 초구형성이 얼마나 널리 퍼져 있는지 조사하기 위해.
• 균일한 초구형성이 내부 동형 또는 이형 접선에 의해 파괴되는 매개수 $a^*$ 근처의 역학적 행동을 분석하기 위해.
• Lebesgue 거의 모든 매개수 $a^*$ 근처에서, 초기 점들이 무한대 방향으로 발산하고, 모든 고정된 에르고딕 측도가 일관되게 0에서 멀리 떨어진 리아프노프 지수를 가짐을 보여주기 위해.
• 초구형성의 손실이 표준의 분할 기반 기법을 적용할 수 없는 내부 접선을 통해 발생함을 확립하고, 따라서 새로운 기법이 필요함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 매개수 $a$에 따라 정의된 헨온 유사 맵 $f_a$의 역학을 분석하며, $f_a(x,y) = (1 - a x^2, 0) + b \cdot \Phi(a,b,x,y)$ 이며, $0 < b \ll 1$ 이다.
• 균일한 초구형성이 고정점의 안정다양체와 불안정다양체 사이의 2차 접선에 의해 파괴되는 첫 번째 분기 매개수 $a^*$에 집중한다.
• 오빗을 간격 $n_k < n < n_k + p_k$로 분해하여, 반복에 따른 불안정다양체의 성장률을 분석한다.
• 불안정다양체의 도함수 노름에 대한 균일한 수축/팽창 성질을 이용하여 리아프노프 지수를 유계화한다.
• 오세레체프 Multiplicative Ergodic Theorem을 적용하여 불안정다양체의 성장률과 리아프노프 지수를 연결한다.
• 도함수의 불안정부분에 대한 노름에 대한 균일한 하한을 반복적 추정과 자코비안 행렬식의 균일한 유계성으로 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강력한 소산성 헨온 유사 가족에서 균일한 초구형성이 내부 접선에 의해 파괴되는 첫 번째 분기에서 비균일한 초구형성이 널리 퍼져 있는가?
• RQ2 $a^*$ 근처에서 고정된 에르고딕 측도의 리아프노프 지수는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 $a^*$ 근처의 매개수 전역에 걸쳐 리아프노프 지수에 대한 균일한 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ4 접선의 내부 성격(즉, 접선 궤도가 극한집합에 포함됨)이 역학과 표준 분기 기법의 적용 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 충분히 작은 $b>0$ 에 대해, $a^*$는 레바그 거의 모든 초기 점이 정방향 반복에서 무한대 방향으로 발산하는 매개수 집합의 전부의 르베그 밀도 점이다.
• 모든 고정된 에르고딕 보렐 확률 측도의 리아프노프 지수들은 $a^*$ 근처의 모든 매개수에서 일관되게 0에서 멀리 떨어져 있다.
• $\varepsilon>0$ 가 충분히 작을 때, 집합 $\Omega_{a^*}(\varepsilon)$ 는 초구형적임이 증명되었으며, 이는 불안정다양체의 도함수의 특이값에 대한 균일한 제어로 유도된다.
• 접선 궤도는 유일하며 극한집합에 포함되어 있어, 이는 내부 접선 분기임을 나타내며, 이는 외부 접선 케이스에서 사용되는 표준 분할 기반 접근법을 무효화한다.
• 충분히 큰 $n$ 에 대해, 불안정다양체의 성장률은 $\Omega_{a^*}(\varepsilon)$ 내의 $x$ 전역에서 일관되게 지수적 비율 $\lambda^n$ 으로 아래에서 유계화되며, 이때 $\lambda>1$ 이다.
• 증명은 균일한 유계성과 임계 영역 $I(\delta)$ 로의 복귀 시간 $n_k$ 의 수열을 구성함에 의존하며, 이는 불안정노름의 지수적 성장을 보장한다.