[논문 리뷰] Pricing Financial Derivatives using Radial Basis Function generated Finite Differences with Polyharmonic Splines on Smoothly Varying Node Layouts

Slobodan Milovanović|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 07.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다항형 스퍼라인(PHSs)과 부드럽게 변화하는 격점 배치를 사용하여 금융 파생상품 가격 결정을 위한 개선된 라디얼 기저 함수 생성 유한차분(RBF-FD) 방법을 제안한다. 형태 매개수를 제거하고 밀도에 따라 적응하는 격점 배치를 통해 안정성을 향상시킴으로써, 블랙–쇼스–머튼 모델 하에서 이종자산 바스켓 옵션과 헤스턴 모델 하에서 유럽식 옵션의 가격 결정에서 뛰어난 수렴성, 정확도 및 조건수를 달성하였으며, 아메리칸 옵션의 경우에도 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

In this paper, we study the benefits of using polyharmonic splines and node layouts with smoothly varying density for developing robust and efficient radial basis function generated finite difference (RBF-FD) methods for pricing of financial derivatives. We present a significantly improved RBF-FD scheme and successfully apply it to two types of multidimensional partial differential equations in finance: a two-asset European call basket option under the Black--Scholes--Merton model, and a European call option under the Heston model. We also show that the performance of the improved method is equally high when it comes to pricing American options. By studying convergence, computational performance, and conditioning of the discrete systems, we show the superiority of the introduced approaches over previously used versions of the RBF-FD method in financial applications.

연구 동기 및 목표

• 금융 PDE에 대한 RBF-FD 방법의 불안정성과 민감성 문제를 다항형 스퍼라인을 통해 형태 매개수를 제거함으로써 해결한다.
• 밀도에 따라 부드럽게 변화하는 격점 배치를 사용하여 수치적 조건수와 수렴성을 향상시킨다.
• 헤스턴 및 다자산 바스켓과 같은 복잡한 모델 하에서 다차원 옵션 가격 결정을 위한 견고하고 고차원, 메쉬 기반의 방법을 개발한다.
• 이 방법이 유럽식 및 아메리칸 옵션, 특히 고차원 문제에 대해서도 효과적임을 입증한다.
• 계산 오버헤드가 있음에도 불구하고 표준 유한차분 방법보다 뛰어난 성능을 보이는 확장 가능하고 병렬 처리가 가능한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 형태 매개수가 필요 없고 스텐실을 안정화시키는 다항형 스퍼라인(PHSs)을 라디얼 기저 함수로 사용한다.
• 국소화된 RBF-FD 접근법을 사용하며, 압축된 스텐실을 통해 희소 미분 행렬을 확보하고 계산 효율성을 높인다.
• 문제의 특성에 따라 — 예를 들어 행사가 근처 또는 변동성 경계 근처 — 밀도 함수를 부드럽게 변화시켜 격점을 적응적으로 군집화하는 격점 배치 알고리즘을 적용한다.
• 각 스텐실에서 국소 콜로케이션을 통해 미분 계수를 구성하며, 미분 연산자를 근사하기 위해 작은 선형 시스템을 푼다.
• 형태 수렴 순서를 제어하고 정확도를 향상시키기 위해 RBF 근사에 다항식 보정을 도입한다.
• 연속적이지 않은 종료 조건을 처리하기 위해 근접한 영역과 원거리 영역의 격점을 조합하여 경계 조건을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항형 스퍼라인이 금융 PDE에 대한 RBF-FD 방법에서 형태 매개수 조정이 필요 없도록 할 수 있는가?
• RQ2 부드럽게 변화하는 격점 배치가 옵션 가격 결정에서 RBF-FD 스킴의 조건수와 수렴성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 제안된 RBF-FD 방법은 선형 보완 문제를 포함하는 아메리칸 옵션에 대해 높은 정확도와 안정성을 유지하는가?
• RQ4 헤스턴 모델 및 다자산 모델 하에서 표준 유한차분 스킴과 비교해 성능 및 정확도에서 어떻게 성과를 내는가?
• RQ5 계산 비용이 큰 미분 계수 계산에도 불구하고 병렬 아키텍처에서 효과적으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 다항형 스퍼라인을 사용한 RBF-FD 방법은 형태 매개수 선택이 필요 없이 안정적이고 정확한 결과를 도출하여 강건성을 크게 향상시켰다.
• 부드럽게 변화하는 격점 배치로 인해 미분 행렬의 조건수가 감소하였으며, 헤스턴 모델 하에서 직사각형 격점 배치의 경우 10^7에서 부드러운 배치로는 10^4로 감소함을 입증하였다.
• 최적의 수렴 속도를 달성하였으며, N ≈ 1000개의 격점에서 오차가 O(1/√N) 비율로 감소하였고, 정확도와 속도 면에서 직사각형 및 적응형 배치보다 뛰어났다.
• 부드러운 격점 배치는 헤스턴 연산자 하에서도 안정적인 계산을 가능하게 했으며, 반면 바스켓 옵션에 특화된 적응형 배치(비연속적인 밀도 변화)는 실패하였다.
• 표준 유한차분 방법보다 계산 성능이 뛰어나며, 병렬 처리 가능한 계수 계산 덕분에 다핵심 시스템에서 성능 이점이 더욱 두드러졌다.
• 아메리칸 풋 바스켓 옵션의 가격 결정에서도 유효성과 효율성이 높은 수준의 정확도를 확보하여, 일반 적용 가능성의 우수함을 입증하였다.