[论文解读] Pricing multi-asset derivatives by finite difference method on a quantum computer

Koichi Miyamoto, Kenji Kubo|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 49被引用 5

一句话总结

本文提出了一种量子算法，通过利用量子线性系统算法求解布莱克-斯科尔斯偏微分方程（PDE），在基于有限差分法（FDM）的多资产衍生品定价中实现了相对于经典FDM的指数级加速。该方法在高维资产空间中克服了维度灾难问题，能够高精度地处理复杂边界条件（如障碍期权中的边界条件），从而实现对多资产衍生品的高效定价。

ABSTRACT

Following the recent great advance of quantum computing technology, there are growing interests in its applications to industries, including finance. In this paper, we focus on derivative pricing based on solving the Black-Scholes partial differential equation by finite difference method (FDM), which is a suitable approach for some types of derivatives but suffers from the {\it curse of dimensionality}, that is, exponential growth of complexity in the case of multiple underlying assets. We propose a quantum algorithm for FDM-based pricing of multi-asset derivative with exponential speedup with respect to dimensionality compared with classical algorithms. The proposed algorithm utilizes the quantum algorithm for solving differential equations, which is based on quantum linear system algorithms. Addressing the specific issue in derivative pricing, that is, extracting the derivative price for the present underlying asset prices from the output state of the quantum algorithm, we present the whole of the calculation process and estimate its complexity. We believe that the proposed method opens the new possibility of accurate and high-speed derivative pricing by quantum computers.

研究动机与目标

• 解决经典有限差分法（FDM）在多资产衍生品定价中因维度灾难导致的随基础资产数量呈指数增长的复杂度问题。
• 实现对奇异衍生品（尤其是具有连续边界条件的衍生品，如敲出障碍期权）的精确且高效定价，此类问题在蒙特卡洛方法中因离散化限制而面临挑战。
• 开发一种将量子线性系统求解器与FDM相结合的量子算法，以在高维资产空间中求解布莱克-斯科尔斯PDE。
• 确保能够从量子态输出中实际提取当前资产价格下的衍生品价格，这是量子金融应用中的关键挑战。
• 建立完整量子算法的复杂度边界，包括态制备、量子幅度估计算法以及误差控制。

提出的方法

• 将多资产布莱克-斯科尔斯PDE表述为带有边界条件的高维时间依赖PDE，并在结构化网格上通过有限差分法（FDM）进行离散化。
• 将FDM离散化表示为大型稀疏线性系统，其中解向量对应于网格点上的衍生品价格。
• 应用量子线性系统求解算法（QLSA）高效求解所得系统，与经典方法相比，在资产数量d上实现指数级加速。
• 使用量子幅度估计算法（QAE）从量子态中提取当前资产价格下的衍生品价格，确保高精度输出。
• 提出一种改进的量子态制备方法，将初始收益和边界条件编码到量子态中，从而实现从到期日到当前时刻的正确反向求解。
• 通过仔细调节精度参数（ε₁, ε₂, εΨ）控制算法误差，确保最终输出误差被限制在ε以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在具有复杂边界条件的多资产衍生品定价中，相对于经典FDM实现指数级加速？
• RQ2 如何对求解PDE得到的量子态输出进行测量，以提取当前标的资产价格下的衍生品价格？
• RQ3 基于FDM的完整衍生品定价流程的总量子复杂度是多少，包括态制备、线性系统求解和幅度估计？
• RQ4 误差参数（ε₁, ε₂, εΨ）如何影响衍生品价格估计的最终精度？
• RQ5 由于能够精确施加连续边界条件，该方法是否能比经典蒙特卡洛方法更有效地处理奇异衍生品（如障碍期权）？

主要发现

• 所提出的量子算法在基础资产数量d上相对于经典FDM实现了指数级加速，而经典FDM因维度灾难导致复杂度呈指数增长。
• 该算法的总复杂度为O(1/ε)，在达到误差ε时成立，其中主要成本来自量子幅度估计算法和量子线性系统求解，而态制备与PDE离散化可高效编码。
• 该方法通过在量子态制备中嵌入边界条件，成功处理了连续边界条件（如敲出障碍期权中的边界条件），而这一任务在经典蒙特卡洛模拟中难以准确实现。
• 最终的衍生品价格通过量子幅度估计算法提取，且误差有界，确保输出ω在O(ε)误差范围内近似真实价格e⁻ʳᵀ·p·Ỹ(τ_ter)，如式(160)所示。
• 该算法的复杂度由O(∥F∥/ε)界定，其中∥F∥与PDE系数和网格大小成比例，且通过多个精度参数（ε₁, ε₂, εΨ）对误差控制进行了严格分析。
• 理论分析证实，量子态制备与求解过程保持了相干性与准确性，归一化因子Z通过解的增长与衰减性质假设得到有界控制。